同济大学 线性代数 课后答案

根据给定的文件内容，我们可以总结出以下几个关键的知识点： ### 一、行列式的计算方法 #### 1. 对角线法则 对于三阶行列式，可以使用对角线法则来快速计算其值： \[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \] 例如题目中的第一个例题： \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & -1 \\ -1 & 8 & 3 \end{vmatrix} = 2 \times (-4) \times 3 + 0 \times (-1) \times (-1) + 1 \times 1 \times 8 - 0 \times 1 \times 3 - 2 \times (-1) \times 8 - 1 \times (-4) \times (-1) = -4 \] #### 2. 行列式的特殊形式 - **循环行列式**：当行列式中的每一行都是上一行循环移位得到时，可以通过展开式直接计算。 - 例如： \[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 3abc - a^3 - b^3 - c^3 \] - **Vandermonde 行列式**：当行列式的第一列是常数项，第二列是这些常数的平方项，以此类推时，可以简化计算。 - 例如： \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a) \] ### 二、逆序数的概念及计算 在行列式理论中，逆序数是指一个排列相对于自然顺序的逆序数目。具体来说，对于一个排列\(p_1p_2\ldots p_n\)，如果存在\(i < j\)使得\(p_i > p_j\)，则称\(p_i\)与\(p_j\)之间形成一个逆序。 - **计算逆序数**： - 例如对于排列4132，其逆序数为4，因为存在以下逆序：41、43、42、32。 - 另外，对于特殊的排列如\(13\ldots(2n-1)24\ldots(2n)\)，可以通过分析得到逆序数为\(n(n-1)/2\)。 ### 三、行列式中的特定项 - 在计算四阶行列式中含有特定因子（如\(a_{11}a_{23}\)）的项时，可以根据行列式的一般项公式来进行分析： \[ (-1)^t a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}a_{4p_4} \] 其中，\(t\)为排列\(p_1p_2p_3p_4\)的逆序数。 - 例如，在含有因子\(a_{11}a_{23}\)的情况下，排列只能是1324或1342，对应的逆序数分别为1和2。 ### 四、行列式的实际计算示例 #### 例题解析 - **例1**： \[ \begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 10 & 5 & 2 & 0 \\ 1 & 7 & 0 & 1 \end{vmatrix} \] 此类行列式可以通过展开定理或者转化为更简单的形式来计算。 - **例2**： \[ \begin{vmatrix} 2 & 1 & 4 & 1 \\ 3 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 6 & 2 \end{vmatrix} \] 同样可以通过行列式的性质和计算规则进行计算。 以上是对给定材料中的主要知识点的总结。通过这些知识点的学习，可以更好地理解行列式的概念和计算方法，以及如何通过行列式解决实际问题。