傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义
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2012-05-11
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傅里叶变换（Transformée de Fourier）在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统
计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处
理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者
它们的积分的线性组合。在 不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续
傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一 种工具，一 种看待问题的角度。理解的关键是：
一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来
的信号，将信号这么分解后有助于处理。
我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信
号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。
傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是
一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就
能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值）， 我们就可以画出其对
应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话 ，频域的更简
单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。
傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆 傅里叶变换恰
好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。
对一个信号做傅立叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅 度 是表
示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系
吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。
傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用
无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。
想一想这个问题：给 你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个
条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差（想想三角函数。相位就是
sin（θ+φ）的 φ。相位差就是△φ。光波可以用三角函数表示。A（振幅）=sin(2πfθ+φ)。s（位移竖直方向）=sin(2π/λ * x（传播
距离） + φ））。 所 以 现 在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。
傅立叶变换用于信号的频率域分析，一 般 我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数
字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性
傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的
基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中
振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。
如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅
大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。
拉普拉斯变换（Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。
它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函
数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数
资源评论
zhichilixing2012-09-25深入简出，很值得一看。
