最大流sap算法（pascal)

### 最大流SAP算法（Pascal） #### 算法概述 SAP（Shortest Augmenting Path）算法是一种求解最大流问题的有效方法。它通过不断寻找增广路径来增加流量，直到找不到这样的路径为止。SAP算法的一个显著特点是它在每次迭代时寻找最短的增广路径，这有助于减少迭代次数。该算法的时间复杂度为O(n^2 * m)，其中n是顶点数量，m是边的数量。 #### 基本概念 在深入讨论SAP算法之前，我们先了解一些基本概念： 1. **网络图**：由一组顶点和一组边组成的有向图。 2. **源点**：网络中的起始顶点，通常标记为`s`。 3. **汇点**：网络中的终止顶点，通常标记为`t`。 4. **容量**：每条边的最大流量限制。 5. **流量**：流经每条边的实际流量。 6. **残余网络**：根据当前的流量分配情况得到的新网络图，表示剩余可以利用的流量。 #### SAP算法详解 SAP算法的主要步骤如下： 1. **初始化**：读取输入数据，构建网络图，并初始化各种数据结构。 2. **构建残余网络**：根据当前的流量分配情况更新残余网络。 3. **执行BFS**：从汇点`t`开始进行宽度优先搜索(BFS)，更新每个顶点到汇点的最短路径长度。 4. **寻找最短增广路径**：从源点`s`开始，沿着最短路径寻找一条增广路径。如果找到了这样的路径，则增加流量。 5. **重复步骤3和4**：直到找不到增广路径为止。 6. **输出结果**：计算并输出最大流量。 #### 代码分析 下面是对给定Pascal代码的详细分析： 1. **常量与类型定义**： ```pascal const maxn = 1000; // 最大顶点数 const maxq = 3000; // 队列的最大长度 type integer = longint; ``` 2. **变量声明**： ```pascal var c, f, adj : array [1..maxn, 1..maxn] of longint; sum, dist, pre : array [1..maxn] of integer; numb : array [0..maxn] of integer; n, s, t : integer; tot : longint; ``` - `c`: 容量矩阵，记录每条边的容量。 - `f`: 流量矩阵，记录每条边的实际流量。 - `adj`: 邻接矩阵，记录每个顶点的邻接顶点。 - `sum`: 记录每个顶点的出度。 - `dist`: 记录每个顶点到汇点`t`的距离。 - `pre`: 记录每个顶点的前驱顶点。 - `numb`: 记录每个距离等级上的顶点数量。 - `s`, `t`: 源点和汇点。 - `tot`: 当前最大流量。 3. **初始化过程** (`init`)： - 读取输入数据，包括边的数量`m`和顶点的数量`n`。 - 读取每条边的信息，包括起点、终点和容量。 - 构建邻接矩阵。 4. **宽度优先搜索(BFS)** (`BFS`)： - 从汇点`t`开始进行宽度优先搜索。 - 更新每个顶点到汇点的最短路径长度。 - 维护一个队列，存储正在处理的顶点。 5. **寻找最短增广路径** (`augment`)： - 从汇点`t`开始，沿着最短路径找到一条增广路径。 - 更新流量，并增加最大流量。 6. **主循环** (`SAP`)： - 执行宽度优先搜索。 - 从源点`s`开始寻找最短增广路径。 - 如果找到了增广路径，则增加流量；否则，更新距离等级，并继续寻找。 7. **输出结果** (`print`)： - 输出最大流量。 #### 时间复杂度分析 SAP算法的时间复杂度为O(n^2 * m)。这是因为每条边最多被考虑n次（每次增加的距离等级），而每次BFS操作的时间复杂度为O(m)。因此，总的时间复杂度为O(n * n * m)。 #### 结论 SAP算法是一种高效求解最大流问题的方法，特别是对于稠密图来说更为适用。通过不断地寻找最短增广路径，SAP算法能够有效地减少迭代次数，从而提高整体效率。上述Pascal代码展示了SAP算法的具体实现细节，对于理解最大流问题以及其实现方法具有很高的参考价值。