### 清华大学信号与系统2008考研真题解析
#### 一、简答题解析
1. **简述\(nF\)与\(\hat{F}(ω)\)的物理意义。**
- \(nF\)：在信号处理中，通常指离散时间信号的傅里叶变换系数。它反映了信号在不同频率分量上的幅值和相位信息。在离散傅里叶变换(DFT)中，\(nF\)表示离散时间信号经过离散傅里叶变换得到的频域表示中的一个系数，这里的\(n\)代表了不同的频率分量。
- \(\hat{F}(ω)\)：代表连续时间信号的傅里叶变换结果，是信号在连续频率域上的表示。它表示信号在各个频率成分上的幅度和相位。这里的\(\omega\)是连续频率变量。
2. **DFT是否正交变换？**
- DFT(离散傅里叶变换)是一种正交变换。DFT的正交性质是指，在离散时间域内的一组基向量(通常是复指数函数)之间是正交的。这意味着任何两个不同的DFT基向量的内积等于零，而同一个基向量的内积等于非零常数。这一性质对于信号处理中的许多应用至关重要，例如信号分析、数据压缩等。
3. **\(\hat{F}(jω)\)何时有\(\hat{F}(s) = \hat{F}(jω)\)的关系？**
- 这个关系成立的前提是，信号的拉普拉斯变换存在，且当拉普拉斯变换的实部\(s\)等于0时，即\(s=jω\)，此时拉普拉斯变换退化为傅里叶变换。换句话说，当信号是因果信号（即只有在\(t≥0\)时信号才不为零），且信号的频谱在虚轴上存在，则拉普拉斯变换和傅里叶变换之间的这种关系成立。
4. **写出FIR滤波器的时域对称性的表达式。**
- FIR滤波器的时域对称性可以通过其单位脉冲响应\(h(n)\)来描述。如果一个FIR滤波器是线性相位的，则它的单位脉冲响应必须满足一定的对称或反对称条件。具体地，对于偶对称的FIR滤波器，其单位脉冲响应满足：
\[
h(n) = h(N-1-n), \quad n=0,1,\ldots,N-1
\]
其中，\(N\)是滤波器长度。对于奇对称的FIR滤波器，则有：
\[
h(n) = -h(N-1-n), \quad n=0,1,\ldots,N-1
\]
#### 二、解答题解析
1. **证明：傅里叶变换的内积不变性。**
- 傅里叶变换的内积不变性指的是，在时域和频域中，任意两个信号的内积是相同的。具体来说，如果两个信号\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)的傅里叶变换分别是\(\hat{F}_1(ω)\)和\(\hat{F}_2(ω)\)，则它们的内积可以表示为：
\[
\langle f_1(t), f_2(t) \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f_1^*(t)f_2(t) dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \hat{F}_1^*(ω)\hat{F}_2(ω) dω
\]
2. **已知\(f(t) = e^{-at}u(t)\)，求\(f*a(t)\)，其中\(a>0, b>0\)。**
- 给定信号\(f(t) = e^{-at}u(t)\)，其中\(u(t)\)是单位阶跃函数。要求的是卷积\(f*a(t)\)，首先需要确定信号\(a(t)\)。由于题目中未明确给出\(a(t)\)，假设\(a(t) = e^{-bt}u(t)\)。利用卷积定理，可以求解卷积：
\[
(f*a)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)a(t-\tau)d\tau = \int_{0}^{t} e^{-a\tau}e^{-b(t-\tau)}d\tau = \frac{e^{-bt}}{a-b}(e^{bt}-e^{at})
\]
3. **希尔伯特正变换和反变换级联后是一个冲击。**
- 希尔伯特变换是一种特殊的线性变换，用于分析实信号的特性。希尔伯特变换将一个实信号转换为其希尔伯特包络，即该信号的解析信号。对于实信号\(f(t)\)，其希尔伯特变换\(\hat{f}(t)\)定义为：
\[
\hat{f}(t) = f(t) + j\mathcal{H}\{f(t)\}
\]
其中，\(\mathcal{H}\)表示希尔伯特变换操作。当希尔伯特正变换和反变换级联时，结果将是原始信号，即冲击函数。
4. **求\(\delta'(t)+\delta(t)\)。**
- 冲击函数\(\delta(t)\)是一个理想化的数学函数，其定义是在\(t=0\)时无穷大，在其他地方为0，且积分等于1。冲击函数的导数\(\delta'(t)\)表示冲击函数的变化率。因此，\(\delta'(t)+\delta(t)\)可以理解为在\(t=0\)处有两个冲击，一个是原冲击\(\delta(t)\)，另一个是其导数\(\delta'(t)\)。在数学上，这两个函数叠加后的结果仍然是在\(t=0\)处的一个冲击函数，但在某些应用中可能需要考虑导数项的影响。
5. **证明：实信号幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数。**
- 对于实信号\(f(t)\)，其傅里叶变换\(\hat{F}(ω)\)满足：
\[
\hat{F}(-ω) = \hat{F}^*(ω)
\]
其中，\(\hat{F}^*(ω)\)表示\(\hat{F}(ω)\)的复共轭。由此可得：
\[
|\hat{F}(-ω)| = |\hat{F}(ω)|, \quad \angle\hat{F}(-ω) = -\angle\hat{F}(ω)
\]
上式表明，幅度谱是偶函数，而相位谱是奇函数。
#### 三、反馈系统问题
- **系统函数\(\hat{H}(s)\)的求解：**
- 根据给定的反馈系统框图，可以推导出系统函数\(\hat{H}(s)\)。具体的求解方法依赖于系统的具体结构，但一般通过建立系统方程并求解传递函数来进行。
- **系统BIBO稳定性条件：**
- BIBO(Bounded Input Bounded Output)稳定性是指对于有限的输入信号，系统产生的输出也是有限的。对于给定的反馈系统，BIBO稳定性的条件是系统的极点都位于左半复平面上。根据系统的具体形式，可以求出参数\(K_1\)和\(K_2\)满足的约束条件，确保系统的极点位于左半复平面内。
- **极点分布图的绘制：**
- 极点分布图的绘制基于系统的特征方程，通过求解系统的特征方程可以得到极点的位置。对于稳定的系统，所有极点都应该位于\(s\)-平面的左半部分。
- **输出信号\(\hat{r}(t)\)及图像绘制：**
- 输入信号\(\hat{T}(e^{st})\)给定后，可以根据系统的传递函数计算输出信号\(\hat{r}(t)\)。通过反拉普拉斯变换或数值方法可以得到\(\hat{r}(t)\)的时间域表示，并进一步绘制出其图形。
#### 四、序列运算问题
- **输出的加法和乘法次数：**
- 对于序列运算，输出的加法和乘法次数可以通过计算卷积过程中的运算量来确定。
- **快速算法的推导：**
- 使用DFT和FFT可以显著减少卷积计算所需的乘法和加法次数。具体的方法包括重叠-保留法、重叠-添加法等，这些方法利用了DFT和FFT的快速计算特点。
- **估计方法的乘法和加法次数：**
- 根据所采用的具体快速算法，可以估算出乘法和加法的总次数。
#### 五、自相关宽度与能谱密度
- **自相关宽度\(W_f\)的求解：**
- 自相关宽度\(W_f\)是通过计算自相关函数\(R_f(τ)\)来确定的。对于给定的信号形式，可以直接代入公式计算。
- **能谱密度的求解：**
- 能谱密度\(P_f(ω)\)是通过傅里叶变换将自相关函数从时域转换到频域得到的。对于特定的信号形式，可以计算出对应的能谱密度。
#### 六、数字滤波器设计
- **脉冲不变法求\(\hat{h}(n)\)：**
- 脉冲不变法是一种从模拟滤波器转换到数字滤波器的方法。对于给定的模拟滤波器，可以将其单位脉冲响应转换为数字滤波器的形式。
- **IIR数字滤波器的实现：**
- IIR(Infinite Impulse Response)滤波器是一种具有无限长单位脉冲响应的滤波器。通过给定的模拟滤波器设计，可以实现相应的IIR数字滤波器。
- **幅度谱的绘制：**
- 幅度谱的绘制基于滤波器的频率响应。通过计算滤波器的频率响应，可以绘制出幅度谱。
- **FIR滤波器结构的设计：**
- FIR(Finite Impulse Response)滤波器是一种具有有限长单位脉冲响应的滤波器。通过截取冲激响应幅度不少于10%的部分，可以设计出相应的FIR滤波器结构。
通过对题目中的每个知识点进行深入解析，不仅加深了对信号与系统基本理论的理解，也进一步掌握了信号处理中的一些关键技术及其应用。
