### 2025方浩_概率统计_讲义.pdf
#### 第一章 随机事件和概率
本章主要介绍了随机事件的概率理论基础，包括随机试验、样本空间、随机事件及其关系与运算等内容，并详细阐述了考试要求中所涉及的各项知识点。
##### 考试内容与要求
- **考试内容**
- 随机事件与样本空间;
- 事件的关系与运算;
- 完备事件组;
- 概率的概念;
- 概率的基本性质;
- 古典型概率;
- 几何型概率;
- 条件概率;
- 概率的基本公式;
- 事件的独立性;
- 独立重复试验.
- **考试要求**
- 了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。
- 理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质。会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式。
- 理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。
#### §1 随机事件的关系与运算
**大纲考点梳理**
1. **随机试验、样本与随机事件**
- **随机试验**
如果一个试验具备以下三个特点：
- 可以在相同条件下重复进行；
- 每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果；
- 在进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
则称此试验为随机试验，通常用字母E表示。
- **样本空间**
随机试验E的每个结果称为样本点，记作ω，所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为Ω，则有Ω={ω}。
- **随机事件**
样本空间的子集称为随机事件，简称事件，用字母A、B、C表示。随机事件由样本点组成，其中由一个样本点组成的单点集称为基本事件；由多个样本点组成的集合称为复合事件。若一次试验的结果中，某一基本事件出现，则称该基本事件发生，对于某一事件A，若其包含的某一样本点出现，则称事件A发生。样本空间Ω包含所有的样本点，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
2. **随机事件的关系与运算**
- **随机事件的关系**
- 事件的包含与相等：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A或事件A包含于事件B，记作B⊇A或A⊆B。若事件A、B相互包含，则称事件A、B相等，记作A=B。
- 事件的和（并）：事件A、B至少有一个发生，称为A与B的和（并），记作A∪B或{ω|ω∈A或ω∈B}。类似地，称Ak,k=1,2,…,n为n个事件A1,A2,…,An的和事件，Ak,k=1,2,…,∞为可列个事件A1,A2,…的和事件。
- 事件的交（积）：事件A、B同时发生，称为A与B的交（积），记作A∩B或{ω|ω∈A且ω∈B}。类似地，称Ak,k=1,2,…,n为n个事件A1,A2,…,An的积事件，Ak,k=1,2,…,∞为可列个事件A1,A2,…的积事件。
- 事件的差：事件A发生但B不发生，称为A与B的差，记作A-B或{ω|ω∈A且ω∉B}。
- 事件互斥（不相容）：若事件A与事件B不能同时发生，即A∩B=∅，则称事件A与B是互斥（不相容）的。
- 事件对立（互逆）：若事件A、B不能同时发生，但必有一个发生，即A∩B=∅且A∪B=Ω，则称事件A、B为对立（互逆）事件，记作A=B′或A′=B。
- **随机事件的运算律**
- 吸收律：若A⊆B，则A∪B=B、A∩B=A。
- 交换律：A∪B=B∪A、A∩B=B∩A。
- 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)、(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
- 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)、A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
- 德摩根律：(A∪B)′=A′∩B′、(A∩B)′=A′∪B′。
3. **韦恩图**
事件的关系和运算可以用韦恩图形象地表示出来，韦恩图是一种图形化的方式，通过图形直观地展示不同事件之间的关系。例如，图1.1展示了不同事件的交、并等关系。
**典型例题解析**
**例1.1** 某射手向目标射击三次，用Ai表示第i次击中目标，i=1,2,3。试用Ai及其运算符表示下列事件：
- 三次都击中目标：\(A_1 \cap A_2 \cap A_3\)
- 至少有一次击中目标：\(A_1 \cup A_2 \cup A_3\)
- 恰好有两次击中目标：\((A_1 \cap A_2 \cap A_3') \cup (A_1 \cap A_2' \cap A_3) \cup (A_1' \cap A_2 \cap A_3)\)
- 最多击中一次：\((A_1 \cap A_2' \cap A_3') \cup (A_1' \cap A_2 \cap A_3') \cup (A_1' \cap A_2' \cap A_3)\)
- 至少有一次没有击中目标：\((A_1' \cup A_2' \cup A_3')\)
- 三次都没有击中目标：\(A_1' \cap A_2' \cap A_3'\)
这些知识点不仅帮助学生理解和掌握随机事件的基本概念，还为后续学习概率的计算打下了坚实的基础。
