### 2025方浩_概率统计_讲义.pdf #### 第一章 随机事件和概率 本章主要介绍了随机事件的概率理论基础,包括随机试验、样本空间、随机事件及其关系与运算等内容,并详细阐述了考试要求中所涉及的各项知识点。 ##### 考试内容与要求 - **考试内容** - 随机事件与样本空间; - 事件的关系与运算; - 完备事件组; - 概率的概念; - 概率的基本性质; - 古典型概率; - 几何型概率; - 条件概率; - 概率的基本公式; - 事件的独立性; - 独立重复试验. - **考试要求** - 了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系及运算。 - 理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质。会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式。 - 理解事件独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法。 #### §1 随机事件的关系与运算 **大纲考点梳理** 1. **随机试验、样本与随机事件** - **随机试验** 如果一个试验具备以下三个特点: - 可以在相同条件下重复进行; - 每次试验的可能结果不止一个,但能事先明确试验的所有可能结果; - 在进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 则称此试验为随机试验,通常用字母E表示。 - **样本空间** 随机试验E的每个结果称为样本点,记作ω,所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为Ω,则有Ω={ω}。 - **随机事件** 样本空间的子集称为随机事件,简称事件,用字母A、B、C表示。随机事件由样本点组成,其中由一个样本点组成的单点集称为基本事件;由多个样本点组成的集合称为复合事件。若一次试验的结果中,某一基本事件出现,则称该基本事件发生,对于某一事件A,若其包含的某一样本点出现,则称事件A发生。样本空间Ω包含所有的样本点,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件。空集∅不包含任何样本点,在每次试验中都不发生,称为不可能事件。 2. **随机事件的关系与运算** - **随机事件的关系** - 事件的包含与相等:若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A或事件A包含于事件B,记作B⊇A或A⊆B。若事件A、B相互包含,则称事件A、B相等,记作A=B。 - 事件的和(并):事件A、B至少有一个发生,称为A与B的和(并),记作A∪B或{ω|ω∈A或ω∈B}。类似地,称Ak,k=1,2,…,n为n个事件A1,A2,…,An的和事件,Ak,k=1,2,…,∞为可列个事件A1,A2,…的和事件。 - 事件的交(积):事件A、B同时发生,称为A与B的交(积),记作A∩B或{ω|ω∈A且ω∈B}。类似地,称Ak,k=1,2,…,n为n个事件A1,A2,…,An的积事件,Ak,k=1,2,…,∞为可列个事件A1,A2,…的积事件。 - 事件的差:事件A发生但B不发生,称为A与B的差,记作A-B或{ω|ω∈A且ω∉B}。 - 事件互斥(不相容):若事件A与事件B不能同时发生,即A∩B=∅,则称事件A与B是互斥(不相容)的。 - 事件对立(互逆):若事件A、B不能同时发生,但必有一个发生,即A∩B=∅且A∪B=Ω,则称事件A、B为对立(互逆)事件,记作A=B′或A′=B。 - **随机事件的运算律** - 吸收律:若A⊆B,则A∪B=B、A∩B=A。 - 交换律:A∪B=B∪A、A∩B=B∩A。 - 结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C)、(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 - 分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)、A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。 - 德摩根律:(A∪B)′=A′∩B′、(A∩B)′=A′∪B′。 3. **韦恩图** 事件的关系和运算可以用韦恩图形象地表示出来,韦恩图是一种图形化的方式,通过图形直观地展示不同事件之间的关系。例如,图1.1展示了不同事件的交、并等关系。 **典型例题解析** **例1.1** 某射手向目标射击三次,用Ai表示第i次击中目标,i=1,2,3。试用Ai及其运算符表示下列事件: - 三次都击中目标:\(A_1 \cap A_2 \cap A_3\) - 至少有一次击中目标:\(A_1 \cup A_2 \cup A_3\) - 恰好有两次击中目标:\((A_1 \cap A_2 \cap A_3') \cup (A_1 \cap A_2' \cap A_3) \cup (A_1' \cap A_2 \cap A_3)\) - 最多击中一次:\((A_1 \cap A_2' \cap A_3') \cup (A_1' \cap A_2 \cap A_3') \cup (A_1' \cap A_2' \cap A_3)\) - 至少有一次没有击中目标:\((A_1' \cup A_2' \cup A_3')\) - 三次都没有击中目标:\(A_1' \cap A_2' \cap A_3'\) 这些知识点不仅帮助学生理解和掌握随机事件的基本概念,还为后续学习概率的计算打下了坚实的基础。
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