对数是数学中的一个重要概念，尤其在指数运算和幂次方运算中起到转换和简化问题的作用。本节我们将深入探讨对数的相关知识点。
1. **对数定义与性质**
对数是指数运算的逆运算，它将指数形式的问题转化为乘法或除法问题。如果 `bc = a` (其中 `b > 0`, `b ≠ 1`)，那么对数式为 `log_b a = c`。这里，`b` 是底数，`a` 是真数，`c` 是对数值。题目中的选项1给出了正确的对应关系：`log_b a = c` 对应于 `bc = a`，答案是 D.
2. **对数定律**
对数有多种基本性质，例如乘法法则（`log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)`）、除法法则（`log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y)`）以及指数与对数的关系（`log_b(b^n) = n`）。在选择题2中，选项①和③是正确的，因为它们分别符合乘法和除法法则。答案是 B，正确命题的个数为2。
3. **对数计算**
在选择题3中，给定 `x = +1`，我们应用对数的性质解出 `log_4(x^3 - x - 6)`。由于 `x^3 - x - 6` 在 `x = +1` 时等于 `-2`，所以 `log_4(-2)` 的值不存在，因为对数的真数不能为负。因此，正确答案是 C.
4. **对数方程**
方程 `10^x = lg(10m) + lg` 可以转化为指数形式，因为 `lg` 通常指的是 `log_10`。整理得到 `10^x = log_{10}(10m) + log_{10}`，而 `log_{10}(10m)` 等于 `m`，因此 `10^x = m + 1`。由于 `10^x` 总是非负的，`m + 1` 必须大于零，这意味着 `m > -1`。选择题4的正确答案是 C，`x = 0`.
5. **对数乘积与指数乘积**
选择题5中，`log_ab * log_3a = 5` 可以转换为指数形式，使用换底公式 `log_c a / log_c b = log_b a`。因此，`log_ab * log_3a = log_a3^5`。这意味着 `b` 是 `3^5` 的 `a` 次方，即 `b = a^5`. 答案是 B.
6. **对数的定义域**
填空题6要求找出对数 `log_a-(2)` 的实数 `a` 的取值范围。对数的真数必须大于零，因此 `5-a > 0` 和 `(5-a)^(-2) > 0`，解得 `a` 的取值范围是 `(2, 5)`。
7. **对数的乘法与商的对数**
填空题7涉及对数的乘法和商的对数法则。首先计算括号内的对数，然后进行乘法和减法操作。具体计算过程未给出，但解题时需要使用对数的乘法和换底公式。
8. **对数方程的解集**
填空题8的解集要求满足 `lg(x-1) + lg(x-2) = lg2`。使用对数的加法法则，得到 `lg[(x-1)(x-2)] = lg2`，意味着 `(x-1)(x-2) = 2`。解这个二次方程，我们得到 `x = 3`。
9. **对数函数的求值**
解答题9要求求解 `log_2.56.25 + lg + ln +` 的值。这需要分别计算每个对数，可能需要用到换底公式和其他对数性质。
10. **对数方程的解**
解答题10是基于对数的充要条件 `lgx1 = lgx2` 意味着 `x1 = x2 > 0`。解这个方程意味着 `2lg(3x-2) = lgx + lg(3x+2)`。首先使用对数的加法法则，然后解出 `x` 的值，答案是 `x = 21`。
11. **对数函数的恒成立问题**
最后一题中，函数 `f(x) = x^2 + (2 + lga)x + lgb` 满足 `f(-1) = -2` 且 `f(x) ≥ 2x` 恒成立。首先利用 `f(-1) = -2` 来找到 `lga` 和 `lgb` 之间的关系，然后利用不等式 `f(x) ≥ 2x` 来确定 `a` 和 `b` 的值。最终解得 `a = 100`，`b = 10`。
总结来说，对数是数学中的核心工具，用于解决指数问题。它涉及到一系列的性质和法则，如乘法法则、除法法则、指数与对数的关系、换底公式等。通过对数，我们可以简化复杂的运算，解方程和不等式，分析函数的行为。在实际问题中，对数被广泛应用于科学、工程和经济等领域。
