在平面几何中，坐标运算是一种基础且重要的工具，特别是在处理向量的问题时。向量的数量积，也称为向量的点乘，是一个标量值，它反映了向量之间的关系，如方向、长度以及它们是否垂直。以下是根据标题“坐标运算.doc”和描述“坐标运算”所涵盖的一些关键知识点：
1. **向量的数量积定义**：对于两个二维平面向量 **a** = (x₁, y₁) 和 **b** = (x₂, y₂)，它们的数量积定义为 a·b = x₁x₂ + y₁y₂。这个积是一个实数，它体现了向量的长度乘积和两向量夹角的余弦值。
2. **向量垂直的坐标表示**：两个非零向量 **a** 和 **b** 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即 a·b = 0。这意味着 x₁x₂ + y₁y₂ = 0。
3. **向量的模**：向量的模（或长度）可以通过坐标表示计算，例如对于向量 **a** = (x, y)，模 |**a**| = √(x² + y²)。
4. **向量夹角的求解**：两个向量 **a** 和 **b** 的夹角 θ 可以通过余弦公式找到，cosθ = (a·b) / (|**a**| * |**b**|)。
5. **向量的加法和减法**：向量的加法和减法通过坐标对应位置相加或相减完成，如 (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂) 和 (x₁, y₁) - (x₂, y₂) = (x₁-x₂, y₁-y₂)。
6. **向量的投影**：向量 **a** 在向量 **b** 上的投影可以表示为 |**a**| * cosθ，其中 θ 是 **a** 和 **b** 之间的夹角。
7. **距离公式**：在二维空间中，两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 之间的距离 d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。
8. **单位向量**：单位向量的模为1，其坐标形式通常为 (cosθ, sinθ)，其中 θ 是向量与正x轴之间的角度。
9. **向量夹角的计算**：除了数量积公式外，还可以利用反余弦函数 arccos 来直接求得两向量的夹角。
10. **二次函数与一次函数的交点**：当两个函数的解析式联立成方程组并解出两个交点坐标时，可以通过判断这两个点构成的向量与原点构成的向量是否垂直来证明OA⊥OB。
在目标训练中，我们可以看到一系列基于这些概念的问题，比如求向量的数量积、判断向量的关系、确定向量垂直的坐标条件、寻找向量夹角的取值范围、计算两点间最大距离，以及证明三角形的形状等。这些问题旨在让学生巩固向量的坐标运算，并能应用到实际问题中去。
坐标运算在平面向量理论中扮演了核心角色，是解决许多几何和代数问题的关键工具。通过理解和熟练运用这些知识点，可以有效地解决与向量相关的各种问题。
