第四章的根轨迹法是控制系统分析中的一个重要工具，它主要关注如何通过调整系统参数来优化闭环系统的性能。根轨迹法的核心思想是通过改变开环系统的极点和零点位置，来控制闭环系统的特征根（即闭环极点），从而达到期望的系统稳定性与动态性能。
根轨迹是指在控制系统中，当某个参数（如开环增益K）从0变到无穷大时，闭环特征根在复平面上的移动轨迹。例如，对于一个具有开环传递函数G(s)和控制器K的系统，闭环特征方程可以表示为1 + K*G(s) = 0。当K变化时，闭环极点的位置也随之变化，形成根轨迹。在特定的例子中，如果G(s)有两个负实部的极点和零点，随着K的增大，闭环极点可能会从负实轴上移动。
绘制根轨迹时，需要遵循一定的条件和规则。特征方程必须是负反馈系统的，其形式为1 + H(s)G(s) = 0。接着，幅值条件和相角条件是确定根轨迹的关键，它们确保了根轨迹的正确绘制。幅值条件涉及到幅值增益的180度相位变化，而相角条件则涉及相位差的变化。
在根轨迹的基本规则中：
1. 根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，也就是开环极点的数量。
2. 根轨迹在复平面上是连续且关于实轴对称的，特别是共轭复极点会产生对称的根轨迹。
3. 根轨迹始于开环极点，随着K的增大，结束于开环零点或无穷远处。如果开环零点多于极点，会有额外的根轨迹线趋向无穷远。
4. 根轨迹的渐近线描述了当K趋于无穷大时，根轨迹接近的方向。这些线实际上是K趋于无穷大时的根轨迹，它们指示了系统在极限情况下的行为。
通过理解并应用这些规则和条件，工程师能够分析系统在不同参数条件下的稳定性，并进行设计优化，以满足系统的响应速度、稳定裕度和抗干扰能力等性能指标。根轨迹法提供了一种直观的方式来研究控制系统动态特性的变化，是系统分析和设计过程中的有力工具。
