初等数论是数学的一个重要分支，主要研究整数的性质和整数之间的关系。它在密码学、编码理论和计算机科学中有着广泛的应用。本资料聚焦于《初等数论》（第四版）的第三章，该章节深入探讨了同余理论，包括五个关键部分。以下是各部分内容的详细解释：
1. 同余的概念及其基本性质：同余是整数之间的一种关系，如果两个整数除以某个正整数n得到相同的余数，我们就说它们对模n同余，表示为a ≡ b (mod n)。同余关系具有对称性、传递性和封闭性等基本性质，这些性质是后续讨论的基础。
2. 剩余类及完全剩余系：剩余类是所有与某整数a同余的整数组成的集合，通常用[a]表示。完全剩余系则是模n的每一个非负整数恰好出现一次的剩余类集合，例如模4的完全剩余系为[0], [1], [2], [3]。完全剩余系在解决同余问题时非常有用。
3. 既约剩余系与欧拉函数：既约剩余系是一组互不相同且与1同余的剩余类，它在模n下的乘法群中起着核心作用。欧拉函数φ(n)是小于n且与1互质的正整数的数量，它揭示了模n下整数的乘法性质，例如费马小定理就是基于欧拉函数的一个重要应用。
4. 欧拉定理：欧拉定理是数论中的一个重要定理，指出如果a和n是正整数，并且a与n互质，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，这为计算模幂提供了简便方法，尤其在计算大整数的模幂时。
5. 三角和的概念：三角和是指将整数按照三角形排列后，每一行的和。例如，前n个自然数的和即为n*(n+1)/2。在数论中，三角和的概念有时会与同余结合，用于求解特定类型的同余方程。
《初等数论》第三章的习题答案涵盖了这些概念的实际应用和深度解析，帮助读者巩固理论知识并提升解决实际问题的能力。通过解答这些习题，学生可以更好地理解和掌握同余理论的核心概念，为后续学习打下坚实基础。
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