在学习数学的过程中，比例尺是一个重要的概念，尤其是在解决与图形和测量相关的问题时。比例尺是一种工具，用于在图纸或地图上表示实际尺寸与绘制尺寸之间的关系。在北师大版六年级数学课程中，这一主题是学生们需要掌握的关键知识点。
1. **比例尺的理解与计算**
- 比例尺表示的是图上距离与实际距离的比值。例如，比例尺1:800意味着图上的1单位长度代表实际上的800个相同单位长度。
- 在第一个填空中，如果图上1cm表示实际的800cm，那么实际距离就是800cm。
- 第二个填空，当图上2cm表示实际的60km时，要计算比例尺，首先将60km转换为cm（1km = 100,000cm），得到6,000,000cm，然后用这个数值除以2cm，得到比例尺1:3,000,000。
2. **关于比例尺的判断**
- 判断题第一项错误，因为在某些情况下，图上距离可以比实际距离更长，特别是使用放大比例尺时。
- 第二项判断也错误，比例尺20:1表示图上距离是实际距离的20倍，而不是反过来。
3. **比例尺的应用**
- 选择题第一题，要求计算北京到上海在地图上的比例尺。实际距离1200km转换为cm后是12,000,000cm，地图上距离为20cm，所以比例尺为20cm:12,000,000cm，简化后得到1:600,000，对应选项D。
- 第二题，选择合适的比例尺来绘制860m的距离。考虑到作业本的尺寸，1:1000的比例尺较为合适，因为这会使距离缩小到约8.6cm，既不会过大也不过小，选项B正确。
4. **按比例尺绘图**
- 当需要在图纸上以1:1000的比例绘制一个65m x 30m的草坪时，首先要将实际尺寸转换为图上尺寸。65m等于6500cm，30m等于3000cm。按比例尺缩小，长变为6500cm / 1000 = 6.5cm，宽变为3000cm / 1000 = 3cm。
- 图上草坪的面积是长乘以宽，即6.5cm x 3cm = 19.5平方厘米。
通过以上解析，我们可以看出比例尺的运用涵盖了数学中的计算、判断和应用，它是解决地理、工程、建筑等领域问题的基础。学生需要理解比例尺的概念，能够进行比例尺的换算，并能根据比例尺进行实际与图上尺寸的转换，这对于他们的数学素养和实际问题解决能力至关重要。
