【知识点】
一元二次方程是初中数学中的核心概念，主要涉及以下知识点：
1. **定义**：一元二次方程是指形如 ax² + bx + c = 0（其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0）的方程。
2. **解的性质**：一元二次方程的解可能是两个实数、一个实数或没有实数解，这取决于判别式 Δ = b² - 4ac 的值。当 Δ > 0 时，方程有两个不同的实数解；当 Δ = 0 时，方程有一个实数解（重根）；当 Δ < 0 时，方程没有实数解。
3. **解法**：解一元二次方程常用的方法有四种：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法（即韦达定理）。
- **因式分解法**：如果方程可以被分解为两个一次因式的乘积，那么它的解就是这两个因式的根。
- **直接开平方法**：适用于形如 (nx + p)² = q 的方程，直接开平方可求解。
- **配方法**：通过配方将一元二次方程转化为完全平方的形式，然后求解。
- **公式法**：使用韦达定理或求根公式 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a 来求解。
4. **韦达定理**：对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的两个根 x1 和 x2，有 x1 + x2 = -b/a 和 x1 * x2 = c/a。
5. **实际应用**：一元二次方程在解决实际问题中广泛出现，例如增长率问题、几何问题（如三角形的边长关系）等。
6. **解题技巧**：
- 对于选择题，可以使用代入法，将已知解代入方程检验。
- 对于填空题，通常需要运用一元二次方程的性质进行计算。
- 解答题中，通常需要综合运用多种方法，如配方法、因式分解和公式法，来解决问题。
7. **实际问题模型**：例如，商品价格连续下降的问题可以通过一元二次方程描述，增长率问题可以用线性增长模型来解决。
8. **图形与方程的关系**：一元二次方程对应的图形是抛物线，其顶点、对称轴和根都可以通过方程的系数确定。
在上述测试题中，题型涵盖了选择题、填空题和解答题，旨在考察学生对一元二次方程的理解和应用能力，包括解方程、判断解的存在性、应用韦达定理以及解决实际问题的能力。解答这些题目需要掌握上述知识点，并灵活运用。
