【知识点详解】
1. 直线的参数方程与倾斜角：题目中提到直线的参数方程为 \( \begin{cases} x = t\sin50^\circ \\ y = t\cos50^\circ \end{cases} \)，其中 \( t \) 为参数。直线的倾斜角 \( \theta \) 与参数方程中的 \( \tan\theta \) 成正比，即 \( \tan\theta = \frac{dy}{dx} \)。由参数方程可得 \( \frac{dy}{dx} = \frac{\cos50^\circ}{\sin50^\circ} = \tan40^\circ \)，因此直线的倾斜角为 \( 40^\circ \)。
2. 命题逻辑与复合命题：题目中涉及命题的真假判断。命题 \( p \) 表示 \( \forall x \in R, \sin x \neq 0 \)，命题 \( q \) 表示 \( \exists x \in R, \cos2x - 4\sin x - 3 = 0 \)。题目要求找出复合命题的真值。这里需要分析 \( p \) 和 \( q \) 的真假。对于 \( p \)，显然不正确，因为 \( \sin x \) 在 \( x = n\pi \)（\( n \) 为整数）时为零。对于 \( q \)，可以解方程来确定其真假。如果 \( q \) 为真，则复合命题的真假情况会根据不同的逻辑运算符而变化。
3. 命题的否定与否命题：选项C涉及命题的否定和否命题。对于命题 \( a < b \)，它的否定是 \( a \geq b \)，而否命题是 \( a \not< b \) 或 \( a \geq b \)。所以，这里的否命题是 \( "a \geq 0, 2a^2 \not< b^2 - 1" \)。
4. 函数极值的判定：函数 \( x^3 \)、\( \cos x \)、\( \sin x / x \) 和 \( x^2 / (a^2 + 2) \) 中可能存在极值点。极值点出现在导数为零或不存在的地方。对于 \( x^3 \)，导数 \( 3x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处为零，但 \( x = 0 \) 不是极值点，因为二阶导数不改变符号。同理，\( \cos x \) 在 \( x = n\pi \) 处导数为零，但这些点也不是极值点。\( \sin x / x \) 在 \( x = 0 \) 处导数不存在，但根据洛必达法则，极限存在，所以 \( x = 0 \) 是极值点。\( x^2 / (a^2 + 2) \) 在 \( x = 0 \) 处导数也为零，但由于 \( a^2 + 2 \) 恒正，\( x = 0 \) 是极小值点。
5. 双曲线的离心率：双曲线的离心率 \( e \) 定义为 \( e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \)。根据题意，平行四边形的面积为 1，可以构建一个关于 \( a \) 和 \( b \) 的等式来求解离心率。
6. 直线与函数图像的交点：函数 \( f(x) = \begin{cases} e^x, & x < e \\ \ln x, & x \geq e \end{cases} \) 的图像与直线 \( y = 2 \) 有三个交点，意味着在 \( x < e \) 和 \( x \geq e \) 之间 \( f(x) \) 都至少与 \( y = 2 \) 有一次交点，因此 \( a \) 的取值必须使得 \( e^a \) 接近于 2，并且 \( \ln a \) 也接近于 2。
7. 双曲线的渐近线与距离：双曲线 \( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1 \) 的渐近线为 \( y = \pm x \)，点 \( P \) 到渐近线的距离公式可以用来求解点 \( P \) 到 \( x \) 轴的距离。
8. 约束条件下的最值问题：利用均值不等式，我们可以找到 \( 3x + 3y \geq 6\sqrt{xy} \) 的条件下的 \( 3x + 3y \) 的最小值，然后转换为 \( \frac{3}{27} + \frac{1}{26} \) 的形式，寻找最值。
9. 抛物线上的对称点：抛物线 \( y = -x^2 + 3 \) 上的两点 \( A \) 和 \( B \) 关于 \( x + y = 0 \) 对称，这意味着线段 \( AB \) 与 \( x + y = 0 \) 垂直并相交。通过解析几何方法可以找到 \( AB \) 的长度。
10. 抛物线上的点到直线的距离与最值：点 \( P \) 到 \( y \) 轴的距离 \( d \) 与到直线 \( x - y + 4 = 0 \) 的距离 \( d' \) 的和最小，这实际上是一个最优化问题，可以通过平面几何或微积分方法求解。
11. 导数与函数的符号变化：奇函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \) 满足 \( f'(1) = 0 \) 并且当 \( x > 0 \) 时 \( f'(x) > f(x) \)，这意味着在 \( x = 1 \) 处 \( f(x) \) 的极大值。我们需要找到 \( f(x) = 0 \) 的其他解。
12. 椭圆与直线的几何关系：椭圆 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 的左顶点 \( A \) 的斜率为 \( k \) 的直线与椭圆的另一个交点 \( B \) 在 \( x \) 轴上的投影是右焦点 \( F \)。根据椭圆的性质和直线的斜率，可以求出椭圆的离心率的范围。
【填空题知识点】
13. 极坐标系与圆心距离：圆的极坐标方程为 \( \rho = 4\sin\theta \)，点 \( A(4, \frac{\pi}{3}) \) 到圆心的距离是圆半径 \( r \) 的函数，这里 \( r = 4\sin\frac{\pi}{3} \)。
14. 不等式恒成立问题：条件 \( x^2 + 2y^2 = m \) 下，若 \( x^2 - 2y^2 \leq m \) 恒成立，可以转化为关于 \( y^2 \) 的不等式，进而求解 \( m \) 的取值范围。
15. 抛物线与双曲线的几何关系：抛物线 \( y^2 = 4x \) 的焦点 \( F \) 与双曲线 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 的渐近线的交点 \( P \) 的距离 \( |PF| \) 为 3，可以利用抛物线的焦半径公式和双曲线渐近线的性质求解双曲线的离心率。
以上是对给定数学试题中涉及的知识点的详细解释，包括直线参数方程、命题逻辑、函数极值、双曲线离心率、距离最优化问题、不等式恒成立条件、椭圆与直线的关系等。
