文档中的内容涉及到的是概率论与统计中的两个重要概念——二项分布和正态分布，以及它们在实际问题中的应用。二项分布通常用于描述在独立的伯努利试验中成功的次数，而正态分布则是一种连续型随机变量分布，广泛存在于自然和社会科学中。
1. **二项分布**：
- 二项分布由两个参数n（试验次数）和p（单次试验成功的概率）定义。例如题目5中提到的"抽到的二等品件数"，就是一个二项分布的例子，其中n是抽取的总次数，p是单次抽取得到二等品的概率。
- 在二项分布中，期望值E(X) = np，方差Var(X) = np(1-p)。
2. **正态分布**：
- 正态分布通常用μ（平均值）和σ（标准差）来描述。如题目2中提到的"长度偏差"，如果服从正态分布，可以用μ表示偏差的平均值，σ表示偏差的标准差。
- 正态分布的性质包括：大约68%的数据位于μ±1σ之间，约95%的数据位于μ±2σ之间，约99.7%的数据位于μ±3σ之间。例如题目2的选项可以通过计算落在特定区间的概率来判断。
- 在正态分布中，概率密度函数是对称的，关于μ轴对称，所以如果X服从正态分布，那么P(X<a) = P(X>μ-a)。
3. **应用**：
- 在题目3中，利用了条件概率，已知一天空气质量为优秀，求随后一天也为优秀的概率，这需要根据概率乘法原则进行计算。
- 题目9和10涉及生产过程的质量控制，这里使用了正态分布来评估产品尺寸是否偏离正常范围，以及根据抽样数据推断整体生产线的状况。如果尺寸超出预设的上下限，则可能表明生产过程出现异常。
- 题目11和12涉及抽奖和生产决策，这些情况通常会用到概率计算和优化策略，比如计算获奖概率、平均保费比值或是在资源约束下的最优生产计划。
4. **计算方法**：
- 对于选择题和填空题，通常需要计算概率、期望值、方差等统计量，有时还需要使用标准正态分布表或Z分数进行查表计算。
- 解答题部分，往往需要通过样本数据来估计总体参数，如使用样本均值和样本标准差作为总体均值和标准差的估计，并进行假设检验。
通过以上分析，我们可以看到二项分布和正态分布是概率统计中的基础工具，它们被广泛应用于各种实际问题中，包括质量控制、风险评估、决策制定等多个领域。掌握这两个分布的概念和计算方法，对于理解和解决这些问题至关重要。
