这份试卷主要涵盖初等数学BⅡ的相关内容，包括了填空题、选择题、计算题、应用题以及证明题，涉及的知识点广泛且深入，下面我会逐一详细解析。
1. **填空题**
- **曲面生成**：题目提到曲面是由坐标面$xoy$上的曲线绕轴旋转一周形成，这通常涉及到旋转曲面的概念，如圆柱面、圆锥面等。
- **偏导数与极值**：存在偏导数是函数在某点取极值的必要条件，但不是充分条件。如果偏导数为零，可能是拐点或者局部极大/极小值点。
- **偏导数关系**：对于题目中的表达式，可能涉及到多元函数的链式法则或者偏导数的乘积规则。
- **级数性质**：发散级数的性质，可能需要分析级数是否满足Cauchy判别法、比值判别法或交错级数判别法等。
- **线性微分方程**：根据给定的通解，推导出原微分方程，需要理解线性微分方程的特征根和解的结构。
2. **选择题**
- **向量与平面垂直**：这涉及到向量的内积为零，可以计算出垂直向量。
- **函数微分**：利用微分的链式法则和乘积法则解决。
- **连续函数性质**：考察极限与连续性的关系，可能用到介值定理。
- **级数收敛性**：判断级数的收敛性，可能需要利用比较判别法、比值判别法或者根号判别法。
- **差分方程特解**：通过特解的形式，确定差分方程的类型。
3. **计算题**
- **平面与球面的切线**：涉及平面方程和平面与球面的几何关系，需要用到向量法。
- **二重极限**：计算二重极限，可能需要使用极限的性质和技巧，如分离变量、极坐标变换等。
- **偏导数与微分**：对多元函数的微分进行计算，可能涉及到偏导数的乘积法则、链式法则等。
- **微分形式**：识别并指出微分形式，可能与多元函数的微分几何有关。
- **二次积分**：计算二重积分，可能需要用到积分区域的划分、换元法等。
- **级数收敛性**：分析级数的敛散性，需结合级数收敛的判定方法。
- **初值问题**：求解常微分方程的初值问题，需要用到解的性质和微分方程的解法。
- **幂级数的收敛域与和函数**：找出幂级数的收敛半径，然后求和函数，涉及到幂级数的性质和和函数的计算。
4. **应用题**
- **优化问题**：这是一个线性规划问题，可以通过拉格朗日乘数法或单纯形法来解决，目标是最大化产量之和，同时满足总成本不超过53万元的约束。
5. **证明题**
- **偏导数与连续性**：证明函数在原点连续且偏导数存在，但不可微，这涉及到微分学的基本概念，如可微性与偏导数的关系。
- **级数的收敛性**：若已知级数收敛，证明另一个级数也收敛，可能需要使用级数的性质，如比较原则。
这份试卷主要考察了学生对多元函数微积分的理解和应用能力，包括但不限于曲面生成、极值问题、偏导数、级数收敛性、微分方程解法、几何与物理应用问题以及数学证明等多方面知识。解题过程中需要灵活运用微积分的理论和技巧。
