部编版第2章 一元二次方程的应用.docx

【知识点详解】 一元二次方程是初中数学中的核心内容，它在实际生活中有着广泛的应用。本章主要探讨如何利用一元二次方程解决各种实际问题，如增长率问题、几何问题、传染问题、销售问题等。 1. **增长率问题**： 在案例中，中学连续三年投资新增电脑，每年的投资以相同的增长率增长。根据一元二次方程的模型，可以建立如下的方程来求解年平均增长率。设年平均增长率为x，则初始投资为11万元，两年后的投资为18.59万元，可以得出方程：11 * (1 + x)^2 = 18.59。解这个方程可以得到增长率为30%，总投入为43.89万元。 2. **比赛类问题**： 庆祝节日的篮球比赛采用了单循环赛制，即每队都要和其他队比赛一场。根据比赛场次，可以构建一元二次方程来确定参赛队伍的数量。设队伍数为n，那么n*(n-1)/2 = 45。解方程得n = 10或n = -9（负数不合题意），所以共有10支球队参加比赛。 3. **传染问题**： 感染人数的增长可以用指数增长模型描述。如果初始有一人患病，经过两轮感染后共有144人患病，每轮平均一个人会感染11个人。这可以通过等比数列的公式解决，最终求得每轮平均感染人数为11。 4. **销售利润优化问题**： 商店通过调整粽子的批发价格来最大化利润。粽子的销售数量与价格成负相关，而利润是销售数量与单个利润的乘积。设降价m元后，每天卖出(300 + 100m)只粽子，利润为(1-m)(300 + 100m)元。通过解一元二次方程找到m的值，可以优化利润。在这个例子中，当m=0.4时，利润达到420元，销量也最大。 5. **汽车拥有量问题**： 求解汽车拥有量的年平均增长率，可以使用一元二次方程。设增长率为x，初始汽车数量为10万辆，两年后为14.4万辆，可以建立方程10 * (1 + x)^2 = 14.4。为确保未来汽车数量不超过15.464万辆，可以设定类似的方程并求解每年新增汽车数量的最大值。 6. **竞赛类问题**： 象棋比赛每两名选手间必须比赛一场，根据比赛场次可以列出一元二次方程求解参赛选手数。如果有X名选手，那么比赛场次为X*(X-1)/2，解方程得到X=8，即有8位选手参赛。 7. **分枝问题**： 设每个支干长出x个小分支，由题意可以建立一元二次方程1 + x + x^2 = 91，解得x=9，所以每个支干长出9个小分支。 8. **汽车销售问题**： 汽车进价随着销售量增加而下降，同时还有返利。设售出y部汽车，进价降低的总额为0.1 * (y - 1)，总利润为(28 - 27 - 0.1 * (y - 1)) * y + 返利。当利润等于12万元时，可以解出y的值，即需要售出的汽车数量。 通过这些实际问题的解析，可以看出一元二次方程在处理增长、竞赛、销售等现实场景中的重要性。学习者应掌握如何识别问题中的关键信息，建立合适的方程，并能熟练解一元二次方程，从而达到初级应用水平。