【行程问题】是数学中的一个经典题型,主要涉及物体在不同速度下的相遇、追及等问题。本讲主要探讨的是追及问题,分为以下几个部分进行详细解析:
**一、追及问题**
追及问题通常涉及两个或多个物体同方向运动,由于速度不同,导致后方的物体追赶前方物体。关键的数量关系是:**速率差 × 追及时间 = 追及距离**。解这类问题的关键在于理解速度快的物体能够追上速度慢的物体,是因为它们之间存在速度差。
**例1**:中巴车与小轿车同向行驶,中巴车在前。小轿车每小时比中巴车快24千米,当两车相距60千米时,求小轿车追上中巴车所需的时间。
解答:设小轿车追上中巴车需时为t小时,则有(84-60) km/h * t = 60 km,解得t=2.5小时。
**训练一**:
1. 摩托车以80千米/小时的速度追赶前方30千米的卡车,卡车速度为65千米/小时。摩托车追上卡车需要多久?
2. 哥哥以140米/分钟的速度追赶在前的弟弟,弟弟速度为120米/分钟,两人相差100米,问哥哥多久追上弟弟?
**二、变化速度问题**
此类问题中,物体在运动过程中速度有所改变,如例2所示,汽车在故障修复后需要提高速度才能按时到达目的地。
**例2**:汽车从甲地出发,行驶360千米。开始时速度为45千米/小时,途中因故障停了2小时,之后为了按时到达,必须将速度提高到75千米/小时。汽车在离甲地多远的地方出现故障?
解答:汽车按原速度行驶的时间是(360 - 45*2) / 45 = 6小时,所以故障点距离甲地45千米。
**训练二**:
1. 小王骑车上班,速度200米/分钟,某天因遇到熟人耽误2分钟,之后需提高100米/分钟的速度才能准时。求小王在离工厂多远的地方遇到熟人?
2. 汽车以36千米/小时的速度行驶,途中加油耽误15分钟,之后需提高速度才能在8小时内到达,求加油站距离目的地的距离。
**三、多对象追及问题**
这类问题涉及到多个物体间的相互追逐,例如例3中的甲乙两人,甲在取货后骑自行车追赶乙。
**例3**:甲乙同向行走,甲返回取货5分钟后改为骑自行车以360米/分钟的速度追赶乙。问甲追上乙需要多少时间?
解答:甲走15分钟后返回,此时乙领先60米/分钟 * 15分钟 + 60米/分钟 * 5分钟 = 1200米。甲骑行追上乙的时间是1200米 / (360-60)米/分钟 = 4分钟。
**训练三**:
1. 哥哥步行80米/分钟,弟弟60米/分钟,哥哥取文具后骑车310米/分钟追赶弟弟。哥哥何时追上弟弟?
2. 慢车40千米/小时,快车60千米/小时,慢车修车1.5小时后,快车如何调整速度才能在8小时内追上慢车?
以上是行程问题的几个典型例子,通过这些例子可以掌握追及问题的基本解题思路和方法。在解决这类问题时,要抓住速度差是追及距离的关键,以及适时调整速度以满足时间限制。同时,线段图和代数方法是解决问题的有效工具,可以帮助我们清晰地理解问题并找到答案。