在本关的学习中，我们将深入理解并掌握与圆内接正多边形相关的知识点，这对于进一步探索几何学的奥秘至关重要。圆内接正多边形是指所有顶点都位于同一圆上的正多边形，这类图形有其独特的性质和特征。
我们要了解圆内接正多边形的基本性质。例如，所有圆内接正多边形的每个内角之和都是\( (n-2) \times 180^\circ \)，其中\( n \)代表多边形的边数。此外，正多边形的每个内角与对应的外角互补，即内角加外角等于\( 180^\circ \)。因此，如果知道一个正多边形的内角或外角，就可以推算出边数。
在判断题部分，我们看到几个关键点：
1. 各边相称的圆外切多边形不一定是正多边形，但各边相等是成为正多边形的必要条件之一。
2. 各角相称的圆内接多边形并不一定为正多边形，还需结合边是否相等来判断。
3. 正多边形的中心角等于它的外角，但不能混淆为每一个外角，因为每个外角是中心角的一份。
4. 如果一个正多边形的内角是\( 150^\circ \)，则该正多边形不是正十二边形，因为正十二边形的内角为\( 150^\circ \)，但外角应为\( 30^\circ \)，而不是内角。
5. 各角相称的圆外切多边形是正多边形，因为外角的等分性和角度的对称性确保了边的相等。
填空题中，涉及到正多边形的一些具体计算，例如：
1. 如果一个正多边形的外角等于内角，那么它是正四边形，因为只有正方形的外角和内角相等，且都是\( 90^\circ \)。
2. 正三角形的半径和边心距可通过勾股定理计算，对于边长为6cm的正三角形，半径是\( 2\sqrt{3} \)cm，边心距是\( \sqrt{3} \)cm，面积是\( 9\sqrt{3} \)cm²。
3. 同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是\( 1: \sqrt{3} \)。
4. 面积为\( cm^2 \)的正六边形，其周长可以通过面积公式求解，一般为\( 6 \)cm。
5. 同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是\( 1:2 \)。
在例题中，如果圆内接正六边形的周长是24，则其内接正三角形的周长可以通过比例计算得到，答案是12。同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是\( 1:2 \)。如果正六边形的两条平行边间的间隔是1，那么其边长可以通过黄金分割关系或其他几何方法求得。周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积大小关系，根据正多边形面积公式\( S = \frac{n}{4}a^2 \times \sin(\frac{180^\circ}{n}) \)，可以得出正六边形的面积最大，其次是正四边形，最小的是正三角形。
正三角形的边心距、半径和高的比例是\( 1:2:3 \)，这是通过正三角形的性质得出的，边心距、半径和高分别是高的一半、高、边长。
通过这些练习和例题，我们能加深对圆内接正多边形的理解，掌握其性质，以及如何运用这些性质解决实际问题。在学习过程中，记录并分析错误是提升的关键，因此错题记载和过关训练非常重要，它们帮助我们查漏补缺，巩固知识。
