文档"10级高代AII期末.doc"是关于高等代数A2课程的一份期末考试试卷，主要涉及线性变换、矩阵理论、二次型、线性空间与线性映射等多个核心知识点。以下是根据试卷内容提取的相关知识详解：
1. **线性变换**：线性变换是数域上的一种特殊函数，它保持向量加法和标量乘法的运算性质。题目中提到的线性变换是指将数域中的元素按照某种规则进行变化，例如选择题第一题考察的就是哪些变换保持了线性性质。
2. **矩阵与相似**：相似矩阵具有相同的特征值和特征向量，它们可以通过一个可逆矩阵进行转换。选择题第二题和第三题涉及到矩阵的相似性，以及相似矩阵的性质，如相同特征值、相似对角化等。
3. **正交矩阵**：正交矩阵的列向量组和行向量组都是标准正交基，其逆矩阵等于其转置。填空题第四题要求给出正交矩阵的充分必要条件，这通常包括矩阵的列向量和行向量之间的关系，如长度为1且相互垂直。
4. **向量的坐标与内积**：向量在一组基下的坐标可以通过坐标公式计算，而内积是向量间的一种运算，反映向量在特定空间中的角度关系。填空题第五题需要求出向量在标准正交基下的坐标及其内积。
5. **二次型与正交线性交流**：二次型可以通过系数矩阵表示，通过正交线性变换可以将其化为标准形，即主对角线上元素为正或负的对角矩阵。填空题第六题要求写出二次型的矩阵，进行正交线性变换并求出正负惯性指数和标志差。
6. **线性空间与子空间**：线性空间的子空间是由线性组合形成的子集。解答题第二部分涉及子空间的基和维数，这需要理解子空间的生成集和线性独立的关系。
7. **特征值与特征向量**：特征值和特征向量是描述矩阵性质的重要工具，解答题中的第一小题需要找到矩阵的特征值和特征向量，并解决与之相关的最小二乘问题。
8. **二次型的标准形与正负惯性指数**：二次型的标准形是通过正交线性变换得到的，其中正负惯性指数反映了二次型的正负项个数，而标志差是这两个指数的差。
9. **线性映射与对角化**：线性映射可以表示为矩阵形式，如果一个矩阵可以对角化，意味着存在一组基使得矩阵在该基下是对角矩阵。解答题中的第三小题涉及到矩阵的对角化问题。
10. **正定矩阵与半正定矩阵**：正定矩阵的特征值全为正，半正定矩阵的特征值非负。证明题部分讨论了正定和半正定矩阵的性质，以及它们的乘积和加法的正定性。
以上就是试卷中涉及的高等代数核心概念及其应用，这些知识点对于理解和掌握线性代数至关重要。
