在平面直角坐标系中，平面向量的坐标运算是一个重要的数学概念，它涉及到向量的定义、坐标表示以及各种基本运算。向量是具有大小和方向的量，可以用来描述物体的运动或者力的作用。在二维空间里，我们可以用一对有序实数（x, y）来表示一个向量，这称为向量的坐标。
向量的坐标表示是基于平面直角坐标系的，通常选取x轴正方向和y轴正方向的单位向量i和j作为基底。任何平面上的向量a都可以表示为a = ax*i + ay*j，其中ax和ay是向量a在x轴和y轴上的分量，也称为向量a的坐标。如果两个向量的坐标完全相同，那么这两个向量就是相等的。
在坐标运算中，向量的加法、减法、数乘以及求模运算有以下规则：
1. 向量加法：若向量a = (ax, ay) 和向量b = (bx, by)，则它们的和c = a + b = (ax + bx, ay + by)。
2. 向量减法：向量a - b = (ax - bx, ay - by)。
3. 数乘运算：若向量a = (ax, ay) 和标量k，那么ka = (kax, kay)。
4. 求模运算：向量a的模长|a| = √(ax^2 + ay^2)。
根据题目中的内容，我们可以解答一些具体的练习题：
1. 若向量a = (2, 1)，则向量a的坐标是B. (2, 1)。
2. 若向量b = (-3, 4) 和向量c = (3, -4)，则b + c = (0, 0)，所以b = -c，答案是D. b = -c。
3. 若向量d = (4, 2) 和向量e = (2, 1)，若d与e共线且同向，则d = ke，k应为2，答案是A. k = 2。
4. 若向量f = (1, -3)，则|f| = √(1^2 + (-3)^2) = √10，答案是A. |f| = √10。
对于更复杂的题目，如点的坐标和向量的坐标计算，我们可以利用点的坐标公式和向量的定义来解决。例如，若点P(x, y)和Q(a, b)之间的向量PQ = (a - x, b - y)，则点D的坐标可以通过线性组合已知点的坐标来确定，比如在平行四边形或三角形中。对于向量的最小值问题，可能需要用到向量的点乘和向量的模长公式。
通过这些基础的向量坐标运算，我们可以解决平面几何中的许多问题，包括求解点的位置、判断向量的关系以及解决动态问题。熟练掌握这些运算是高中数学和大学基础课程中的必备技能。在实际应用中，向量坐标运算也广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域，是理解和解决问题的关键工具。
