### 高考理科数学第二次模拟考试题知识点解析
#### 填空题部分解析
**1. 纯虚数条件下的实数a值**
题目描述：若复数是纯虚数，则实数\(a\)的值为？
解析：纯虚数是指形如\(bi(b \in \mathbb{R}, b \neq 0)\)的复数，其实部为0。题目未给出具体的复数表达式，但基于纯虚数的特点可以推断，若题目中的复数形式中含有实数\(a\)，则\(a\)必须等于0才能使该复数成为纯虚数。
**2. 函数定义域与值域**
题目描述：若函数\(f(x) = x^2 - x + \)的定义域和值域都是\([1, a]\)，\((a > 1)\)，则\(a\)的取值是多少？
解析：根据函数的形式，这是一个开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处。对于标准形式\(f(x) = ax^2 + bx + c\)，顶点坐标为\((-b/2a, f(-b/2a))\)。在此题中，\(a = 1, b = -1\)，所以顶点坐标为\((1/2, 3/4)\)。因为函数的定义域为\([1, a]\)，故最小值为\(f(1) = 1\)。为了使定义域和值域一致，值域的上界也应为\(a\)，即最大值为\(f(a) = a^2 - a + \)。由于\(a > 1\)，根据二次函数的性质，最大值出现在区间的端点，因此\(f(a) = a^2 - a + = a\)。解此方程可得\(a\)的值。
**3. 直线与圆的位置关系**
题目描述：直线\(x - y + a = 0\)被圆\(x^2 + y^2 = 25\)所截得的弦长为8，则\(a\)的值是多少？
解析：通过圆心到直线的距离公式\(d = |Ax_0 + By_0 + C| / \sqrt{A^2 + B^2}\)，其中直线方程为\(Ax + By + C = 0\)，圆心坐标为\((x_0, y_0)\)。对于本题，圆心为\((0, 0)\)，直线方程为\(x - y + a = 0\)，代入公式得\(d = |a| / \sqrt{2}\)。根据弦长公式\(l = 2\sqrt{r^2 - d^2}\)，其中\(l\)为弦长，\(r\)为圆的半径，代入\(l = 8, r = 5\)，解得\(d = 3\)。从而得出\(a = \pm 3\sqrt{2}\)。
**4. 三角函数的值域**
题目描述：函数\(y = \sin x \cos 3x - \cos x \sin 3x\) \((0° < x < 45°)\)的值域是多少？
解析：利用三角恒等变换，该函数可以写为\(y = \sin(x - 3x) = \sin(-2x)\)。当\(0° < x < 45°\)时，\(-90° < -2x < 0°\)。因此，函数\(y = \sin(-2x)\)在该区间内的值域为\((-1, 0)\)。
**5. 不等式恒成立条件**
题目描述：给定圆\(x^2 + (y + 1)^2 = 1\)，若不等式\(x + y + c ≥ 0\)恒成立，则实数\(c\)的取值范围是多少？
解析：为了使不等式\(x + y + c ≥ 0\)在圆\(x^2 + (y + 1)^2 = 1\)内部及边界上恒成立，需考虑最不利情况。当\(x = 0, y = -1\)时，不等式变为\(c ≥ 1\)。因此，\(c\)的取值范围是\([1 + \sqrt{2}, +\infty)\)。
**6. 三角函数值计算**
题目描述：若\(\alpha, \beta \in (\pi, \pi)\)，\(\sin(\alpha + \beta) = -\frac{1}{2}\)，\(\sin(\beta - \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\)，则\(\cos(\alpha + \frac{\pi}{2})\)的值是多少？
解析：由\(\sin(\beta - \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\)，得\(\beta = \frac{5\pi}{6}\)。再由\(\sin(\alpha + \beta) = -\frac{1}{2}\)，结合\(\beta\)的值解得\(\alpha\)。最终\(\cos(\alpha + \frac{\pi}{2})\)的值可计算得出。
**7. 极坐标方程表示的圆的半径**
题目描述：极坐标方程表示的圆\(\rho = 2\cos\theta - 2\sin\theta\)的半径是多少？
解析：极坐标方程\(\rho = 2\cos\theta - 2\sin\theta\)可转化为直角坐标系下的方程，进一步简化后可得出该圆的中心和半径。最终得出该圆的半径为\(2\)。
**8. 地理位置距离计算**
题目描述：甲、乙两城市经度均为东经120°，它们的纬度相差60°，地球的半径为\(R\)，则甲、乙两城的球面距离是多少？
解析：利用球面三角学中的球面距离公式，考虑到两地的纬度差为60°，可以计算出球面上两地之间的弧长，进而得出两地之间的球面距离为\(R\cdot\pi/3\)。
**9. 双曲线渐近线方程**
题目描述：椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)和双曲线\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是多少？
解析：根据椭圆和双曲线的焦距相同，可以求出\(a^2\)和\(b^2\)的关系，进而得出双曲线的渐近线方程为\(y = \pm \frac{b}{a}x\)。
**10. 区间长度最大值**
题目描述：定义区间\([a, b]\)(\(a < b\))的长度为\(b - a\)。已知函数\(y = | \log_{0.5} x |\)的定义域为\([a, b]\)，值域为\([0, 2]\)，则区间\([a, b]\)长度的最大值是多少？
解析：根据函数\(y = | \log_{0.5} x |\)的图像特征，可知\(x\)的取值范围。由此分析得出\([a, b]\)长度的最大值为\(13 - 16 = -3\)，这里可能存在解析错误，实际解析应考虑函数特性及其值域变化。
#### 选择题部分解析
**1. 向量模长计算**
题目描述：向量\(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\)满足\(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}\)，\(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\)，\(|\overrightarrow{a}| = 1\)，\(|\overrightarrow{b}| = 2\)，则\(|\overrightarrow{c}|\)等于多少？
解析：利用向量的加法和平行四边形法则，以及勾股定理可以得出\(|\overrightarrow{c}|\)的值为\(\sqrt{5}\)。
**2. 最小值计算**
题目描述：\(a > 0, b > 0\)，\(a, b\)的等差中项是\(\frac{1}{2}\)，\(x = a + \frac{1}{a}, y = b + \frac{1}{b}\)，则\(x + y\)的最小值是多少？
解析：根据等差中项的定义及条件，结合基本不等式求得\(x + y\)的最小值为\(6\)。
**3. 直线与圆的关系**
题目描述：若\(a \neq b\)且\(a^2\sin\theta + a\cos\theta - 2 = 0\)，\(b^2\sin\theta + b\cos\theta - 2 = 0\)，则连接\((a, a^2)\)、\((b, b^2)\)两点的直线与圆\(x^2 + y^2 = 1\)的关系是什么？
解析：通过分析直线方程和圆的方程，结合条件判断直线与圆的位置关系，最终得出直线与圆相切。
**4. 等差数列最大项**
题目描述：设等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_{15} > 0\)，\(S_{16} < 0\)，则\(\frac{S_1}{a_1}, \frac{S_2}{a_2}, \ldots, \frac{S_{15}}{a_{15}}\)中最大的是哪一个？
解析：根据等差数列的性质和条件分析，可以得出这些比值中最大的是\(\frac{S_8}{a_8}\)。
#### 解答题部分解析
**1. 直三棱柱相关证明**
题目描述：直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)的底面是等腰直角三角形\(\triangle ABC\)，\(AB = AC = 2\)，\(\angle BAC = 90^\circ\)，棱\(AA_1 = 3\)，若\(D\)是\(BC\)中点，求证：\(AD \perp\)平面\(BCC_1B_1\)；求异面直线\(DC_1\)与\(AB_1\)所成角的大小。
解析：通过建立空间直角坐标系或利用向量法，可以证明\(AD \perp\)平面\(BCC_1B_1\)，并且通过向量夹角公式计算出异面直线\(DC_1\)与\(AB_1\)所成角的大小为\(\arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})\)。
**2. 概率问题**
题目描述：袋中有形状、质地都相同的黑球、白球和红球共10只，已知从袋中任意摸出一个球，得到黑球的概率为\(\frac{1}{5}\)，从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球的概率为\(\frac{7}{9}\)。求至少得到一个黑球的概率；袋中白球的个数；从袋中任意摸出三个球，记得到白球的个数为\(\xi\)，写出随机变量\(\xi\)的分布列，并求其数学期望\(E\xi\)。
解析：利用概率论中的组合原理和条件概率公式，可以依次求解至少得到一个黑球的概率、袋中白球的个数以及随机变量\(\xi\)的分布列和数学期望\(E\xi\)。
**3. 函数单调性及方程根的问题**
题目描述：已知函数\(f(x) = \)某具体形式，求证\(f(x)\)在区间\((0, +\infty)\)上的单调性，并证明；若关于\(x\)的方程\(f(x) = k\)有根在\([2, 3]\)内，求实数\(k\)的取值范围；若关于\(x\)的方程\(f(x) = kx^2\)有四个不同的实数根，求实数\(k\)的取值范围。
解析：通过对函数的导数分析，可以判断函数的单调性，并进一步求解方程根的相关问题。
**4. 抛物线相关问题**
题目描述：证明命题：若直线\(l\)过抛物线\(y^2 = 2px(p > 0)\)的焦点\(F(\frac{p}{2}, 0)\)，交抛物线于\(A, B\)两点，\(O\)为坐标原点，那么\(OA \cdot OB = -p^2\)；写出第⑴题中命题的逆命题，如其为真，则给出证明；如其为假，则说明理由；把第⑴题中命题作推广，使其是你推广的特例，并对你的推广作出证明。
解析：通过几何方法或代数方法，可以证明原命题的真实性，并对其逆命题进行真假判断和证明。
**5. 数列问题**
题目描述：数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 2\)，\(a_{n+1} = \lambda a_n + 2^n(n \in \mathbb{N}^*)\)，\(\lambda\)为非零常数。是否存在实数\(\lambda\)，使得数列\(\{a_n\}\)成为等差数列或者成为等比数列？若存在则找出所有的\(\lambda\)，并求出对应的通项公式；若不存在则说明理由；当\(\lambda = 11\)时，记\(b_n = a_n + \frac{2^n}{\lambda - 2}\)，证明数列\(\{b_n\}\)是等比数列；求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。
解析：通过递推关系式的分析，结合等差数列和等比数列的定义，可以探讨数列\(\{a_n\}\)的性质，并求解特定条件下数列\(\{a_n\}\)的通项公式。
