其中有五个实验：
一、给定一个非负整数n，计算第n个Fibonacci数
二、设M1和M2是两个n×n的矩阵，设计算法计算M1×M2 的乘
积。
三、在n枚外观相同的硬币中，有一枚是假币，并且已知假
币与真币的重量不同，但不知道假币与真币相比较轻还是
较重。可以通过一架天平来任意比较两组硬币，设计一个
高效的算法来检测这枚假币。
四、用基于变治法的堆排序算法对任意一组给定的数据进
行排序
五、一个n个节点的有向图的传递闭包可以定义为一个n阶布
尔矩阵T，使得当第i个顶点到第j个顶点的存在路径时，
T[i,j]=1;否则，T[i,j]=0（1≤i,j≤n）。请设计一个算法来
求该传递闭包。（T[i,j]为矩阵第i行第j列的元素）
实验报告主要涵盖了五个不同的算法设计和分析实验，涉及到了递归、迭代、矩阵运算、查找算法和图论。以下是对每个实验的详细说明：
1. **斐波那契数列计算**：
- 实验目的是理解和比较递归与迭代算法在解决同一问题时的效率。
- 使用迭代算法`Fib(n)`找到最大的`n`，使得第`n`个斐波那契数不超过计算机的最大整数，同时记录执行时间。
- 对比迭代算法的时间和递归算法`F(n)`的时间，观察哪种更优。
- 改进迭代算法，降低空间复杂度至`Θ(1)`。
- 利用斐波那契数的数学公式`F(n) = [φ^n / sqrt(5)]`计算，找出公式产生误差的最小`n`值。
- 实现交互式菜单，允许用户选择算法。
2. **矩阵乘法**：
- 设计算法计算两个`n×n`矩阵的乘积。矩阵乘法是线性代数的基本操作，对于大型矩阵，高效的算法设计至关重要。
3. **找假币**：
- 在`n`枚外观相同的硬币中，通过比较找出唯一的假币。此问题可以转换为平衡问题，利用分治策略和二分搜索算法来高效解决。
4. **堆排序**：
- 实验使用基于变治法的堆排序算法对任意数据进行排序。堆排序是一种原地排序算法，具有较高的时间效率。
5. **有向图的传递闭包**：
- 设计算法求解`n`个节点的有向图的传递闭包，即布尔矩阵`T`，其中`T[i,j]`表示第`i`个顶点到第`j`个顶点是否存在路径。这个问题涉及到图的遍历和路径检测，可能使用深度优先搜索或广度优先搜索。
通过这些实验，学生能够深入理解递归与迭代算法、矩阵运算的实现、分治策略的应用、排序算法的效率以及图论在实际问题中的应用。实验报告的编写和分析有助于巩固理论知识，提升编程技能，并培养解决问题的能力。
