根据微磁学基本能量密度公式推导有效场资源-CSDN文库

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学习自旋电子学的笔记07：根据微磁学基本能量密度公式推导有效场

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学习自旋电子学的笔记07：根据微磁学基本能量密度公式推导有效场.html 2.27MB

文章目录
前言
一、塞曼能的有效场
二、交换能的有效场
三、界面DMI能的有效场
四、体DMI能的有效场
五、磁晶单轴各向异性能的有效场
六、磁晶立方各向异性能的有效场
总结
雁来音信无凭，路遥归梦难成。----李煜《清平乐别来春半》 
######## 
本文链接：hps://blog.csdn.net/qq_43572058/arcle/details/126234976 
CSDN@搬砖工人_0803号 
########
前言
在笔记06中为大家推荐了“ubermag”官网上的有关微磁学公式的推导笔记，按照老辈人的说法，微磁
学相关公式的推导应该在我们入门后两个月内学会，但并不是每一个人都有着基本的数学素养，有的
人面对这些数学式子就是头晕，比如我，，，好在近期闲来无事想着动纸笔比划一下，遇到的一些陌
生的名词，陌生的导数，卡住的推导步骤等都会去网上翻一翻，于是总归学会了一点三脚猫的功夫
了。
本文的内容就是根据几个微磁学基本能量密度公式来推导其有效场，这几个微磁学基本能量包括：交
换能，塞曼能，界面DMI能，体DMI能，单轴各向异性能，立方各向异性能。这几个能量的能量密度
公式是已知的，利用有效场的公式：
即可推导出每一项能量对应的有效场。式中：  分别表示真空磁导率和材料的饱和磁化强
度；  表示单位磁化强度（矢量场）；  表示以上能量的能量密度（标量
 
=H
 
eff
   
−u
 
M
 
0 s
1
δm
δE
 
any
u
 
，M
 
0 s
=m
 
=m( )r
M
 
s
M( )r
E
 
any

场）；符号表示变分算子。

这里涉及到“变分”这个概念，我自己目前也不是很明白，但从网上查了一些言论描述如下：

设，有所谓的函数的函数的导数表示为：

即

于是，有效场的式子变为了能量密度（标量场）对单位磁化强度（矢量场）求偏导：

大家对这个式子都非常熟悉了，在大部分微磁学文章中，一般这个式子会出现在LLG方程的后面。不

过，此处又出现了有难度的步骤，即标量场如何对矢量场求偏导呢？其实结合“梯度”的定义来看：

设有一个标量场，一个矢量线元，则定义的梯度为：

梯度是一个标量场对矢量求导，从而不难得到“有效场等于能量密度对单位磁化强度的梯度”这个结

论，这句话也经常出现在许多毕业论文第二章的开头，此时我才明白其中的含义。

于是借助梯度的概念将有效场的式子展开：

一、塞曼能的有效场

已知塞曼能的能量密度公式：

其中：为外加磁场（矢量场），单位 A/m。那么可以得到塞曼能的有效场：

F = F (y)，y = y(x)

′

δy

δF

δy

δF

或

∂y

∂F

eff

−u

0 s

∂m

∂E

any

ϕ = ϕ(x, y, z) dl ϕ

gradϕ = ∇ϕ =

dϕ

∂x

∂ϕ

∂y

∂ϕ

∂z

∂ϕ

eff

∇

−u

0 s

m any

(

−u

0 s

∂m

∂E

any

∂m

∂E

any

)

∂m

∂E

any

zeeman

−u

( ⋅

0 s

m )H

H( )r

zeeman

−u

0 s

δm

δE

zeeman

******* (式子 1）

其中和的点乘：

带回式子（1）的第一项：

同理，式子（1）的第二项：

同理，式子（1）的第三项：

最后合并这三项，式子（1）的结果为：

这个推导结果表示塞曼能的有效场：就等于外加磁场。

而且由塞曼能的能量密度表达式可知，若已知任意微磁能量的有效场的情况下，那么它对应的

能量密度表达式即为：

二、交换能的有效场

−u

0 s

∂m

∂E

zeeman

(

−u

0 s

∂m

∂E

zeeman

∂m

∂E

zeeman

)

∂m

∂E

zeeman

[

(−u

( ⋅

−u

0 s

∂m

∂

0 s

m )) +H x^

(−u

( ⋅

∂m

∂

0 s

m ))

+H y^

(−u

( ⋅

∂m

∂

0 s

m )) )]H z^

( ⋅

∂m

∂

m ) +H x^

( ⋅

∂m

∂

m )

( ⋅

∂m

∂

m )H z^

m H ⋅m =H m

x x

y y

m H

z z

( ⋅

∂m

∂

m )H x^

∂m

∂

x x

y y

)

z z

= H

( ⋅

∂m

∂

m )

H y^

∂m

∂

x x

y y

)

z z

= H

( ⋅

∂m

∂

m )H z^

∂m

∂

x x

y y

)

z z

= H

( ⋅

∂m

∂

m ) +H x^

( ⋅

∂m

∂

m )

+H y^

( ⋅

∂m

∂

m )H z^

= H

x^ H

y^ H

= H

zeeman

eff

any

−u

( ⋅

0 s

eff

any

已知交换能的能量密度公式：

其中表示交换作用强度，单位 J/m，式中是拉普拉斯算子，可以直接作用在标量场或者矢量

场，此处作用在矢量场，表示：。

交换能的能量密度公式还有一个简单的，特殊的“写法：，之所以特殊，是因为我

们都知道矢量微分算子只能直接作用在标量场，而不能直接与矢量场结合（即只能通过点乘或叉

乘的方式来与矢量场结合），同时这种简单的写法在许多文章中也是最流行的。

那么可以得到交换能的有效场：

******* (式子 1)

其中式子（1）的第一项： *******(式子 2）

式子（2）里面的

从三个式子的展开结果来看，显然，与变量有关，与和无关；与

变量有关，与和无关；与变量有关，与和无关。

于是从式子（2）可以得到：

A[ ⋅m (∇ )] =

m A[(∇m

) +

(∇m

) +

(∇m

) ]

A ∇

m ∇ =

∂x

∂ m

∂y

∂ m

∂z

∂ m

A(∇ )m

∇

−u

0 s

δm

δE

−u

0 s

∂m

∂E

(

−u

0 s

∂m

∂E

∂m

∂E

)

∂m

∂E

[

(A[(∇m

) +

−u

0 s

∂m

∂

(∇m

) +

(∇m

) ]) +

(A[(∇m

) +

∂m

∂

(∇m

) +

(∇m

) ])

(A[(∇m

) +

∂m

∂

(∇m

) +

(∇m

) ]) ]

(A[(∇m

) +

∂m

∂

(∇m

) +

(∇m

) ])

(∇m )

= (

∂x

∂m

∂y

∂m

)

∂z

∂m

= (

) +

∂x

∂m

x 2

(

) +

∂y

∂m

x 2

(

)

∂z

∂m

x 2

(∇m )

= (

∂x

∂m

∂y

∂m

)

∂z

∂m

= (

) +

∂x

∂m

(

) +

∂y

∂m

(

)

∂z

∂m

(∇m )

= (

∂x

∂m

∂y

∂m

)

∂z

∂m

= (

) +

∂x

∂m

(

) +

∂y

∂m

(

)

∂z

∂m

(∇m

)

(∇m

)

(∇m

)

(A[(∇m

) +

∂m

∂

(∇m

) +

(∇m

) ])

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搬砖工人_0803号

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根据微磁学基本能量密度公式推导有效场

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