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工程科学基础 ## 复习指导 全国勘察设计注册工程师执业资格考试中有关数学的试题覆盖高等学校本科教学中高等 数学、线性代数、概率论与数理统计三门课程的内容,试题的形式为“四选一”的单项选择题, 试题的要求是测试对上述三门课程中基本内容的理解和掌握的水平. 虽然试题的题型单一,但 涉及的内容可以是基本概念、基本理论、基本方法和运算技能以及有关知识的应用. 因此,复习 时最重要的一点是应该按考试大纲的要求，掌握好“三基”,这是备考的最基本的方法; 同时, 也应注意灵活运用所学过的知识, 掌握一些解选择题的技巧. 下面的例题及解答, 就是对以上 建议的一种具体说明. [例 1-1】设函数 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} a x+b, & x \leqslant 1, \\ x^{2}, & x>1 \end{array}\right. $$ 在 $x=1$ 处连续且可导, 则 (). (A) $a=0, b=1$ (B) $a=1, b=0$ (C) $a=2, b=-1$ (D) $a=-1, b=2$ 解 $f\left(1^{-}\right)(\mathbb{1})=a+b, f\left(1^{+}\right)=1, f(1)=a+b$. 欲使 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续, 应有 $f\left(1^{-}\right)=f\left(1^{+}\right)=f(1)$, 即 $a+b=1$. $$ \text { 又 } \begin{aligned} f_{-}^{\prime}(1) & =\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{a x+b-(a+b)}{x-1}=a, \\ f_{+}^{\prime}(1) & =\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{2}-(a+b)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{2}-1}{x-1}=2 . \end{aligned} $$ 欲使 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导, 应有 $f_{-}^{\prime}(1)=f_{+}^{\prime}(1)$, 即 $a=2$. 从而 $b=-1$, 故应选 $(C)$. 本题也可通过直接验证来解,显然 (A)、(B)、(D) 都不满足可导性,故选 (C). 本题侧重测试基本概念一一函数的连续性与可导性. 【例 1-2]已知 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x(1+2 \ln x)}$, 且 $f(1)=1$, 则 $f(x)$ 等于 $(\quad$. (A) $\ln (1+2 \ln x)+1$ (B) $\frac{1}{2} \ln (1+2 \ln x)+1$ (C) $\frac{1}{2} \ln (1+2 \ln x)+\frac{1}{2}$ (D) $2 \ln (1+2 \ln x)+1$ 解: $f(x)=\int \frac{\mathrm{d} x}{x(1+2 \ln x)}=\int \frac{\mathrm{d} \ln x}{1+2 \ln x}=\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}(1+2 \ln x)}{1+2 \ln x}=\frac{1}{2} \ln (1+2 \ln x)+C$, 以 $f(1)=1$ 代入上式,得 $C=1$, 故选 $(B)$. 本题也可以不用积分, 而通过求导来解答, 解法如下: 因为 $[\ln (1+2 \ln x)]^{\prime}=\frac{1}{1+2 \ln x} \cdot \frac{2}{x}=2 f^{\prime}(x)$, 故排除 $(\mathrm{A}) 、(\mathrm{D})$; 又由 $f(1)=1$, 排除 (C), 故选 $(\mathrm{B})$. 本题着重测试基本方法和运算技能一一积分法或微分法. 【例 1-3】设非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解: $y_{1}(x)$ 与 $y_{2}(x), C$ 为任意常数,则该方程的通解是 ( ). (A) $C\left[\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right]\right.$ (C) $C\left[\left(y_{1}(x)+y_{2}(x)\right]\right.$ (B) $y_{1}(x)+C\left[\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right]\right.$ (D) $y_{1}(x)+C\left[\left(y_{1}(x)+y_{2}(x)\right]\right.$ 解: $y_{1}(x)-y_{2}(x)$ 是对应的齐次方程 $y^{\prime}+P(x) y=0$ 的解, 从而由线性微分方程解的性质 定理知 $C\left[\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right]\right.$ 是齐次方程的通解, 再由线性非齐次方程解的结构定理知 $y_{1}(x)+$ $C\left[\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right]\right.$ 是原方程的通解,故选(B). ## 本题着重测试线性满分方程解的性质及解的结构. 【例 1-4]设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数, 它在 $[-\pi ; \pi)$ 上的表达式为 $f(x)=|x|$ ， 则 $f(x)$ 的傅里叶级数为 (). (A) $\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\left(\cos x+\frac{1}{3^{2}} \cos 3 x+\frac{1}{5^{2}} \cos 5 x+\cdots\right)$ (B) $\frac{2}{\pi}\left(\frac{1}{2^{2}} \sin 2 x+\frac{1}{4^{2}} \sin 4 x+\frac{1}{6^{2}} \sin 6 x+\cdots\right)$ (1) $f\left(1^{-}\right)$表示 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的左极限,在(高等数学) (同汸大学数学教研室主编、第 3 版) 中记作 $f(1-0), f\left(1^{+}\right)$表 示 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的右极限, 在第 3 版中记作 $f(1+0)$. (C) $\frac{4}{\pi}\left(\cos x+\frac{1}{3^{2}} \cos 3 x+\frac{1}{5^{2}} \cos 5 x+\cdots\right)$ (D) $\frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{2^{2}} \cos 2 x+\frac{1}{4^{2}} \cos 4 x+\frac{1}{6^{2}} \cos 6 x+\cdots\right)$ 解: 因为函数 $f(x)$ 是偶函数, $f(x)$ 的傅里叶级数是余弦级数, 故排除 (B). 又因为 $$ a_{0}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \mathrm{~d} x=\pi \neq 0, $$ 故 (C) 与 (D) 排除, 从而选 (A). 本题是测试傅里叶级数的基础知识,利用这些基础知识,进行分析判别,排除错误的选项, 作出正确的选择, 而不必去进行全体傅里叶系数的计算. 【例 1-5】设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵, 已知 $|A|=2$, 则 $|-2 A|$ 等于 () . (A) $(-2)^{n+1}$ (B) $(-1)^{n} 2^{n+1}$ (C) $-2^{n+1}$ (D) $-2^{2}$ 解:按照矩阵中行列式运算的性质 $$ |-2 A|=(-2)^{n}|A|=(-1)^{n} 2^{n+1}, $$ 故应选 (B). 本题测试矩阵运算的性质. 这里要防止出现下列常见错误: $|-2 A|=(-2)|A|=-2^{2}$, 出 现这种错误的原因是混淆了矩阵运算性质与行列式运算性质之间的差异. [例 1-6] 设连续型随机变量 $X$ 的分布函数 $$ F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & x<0, \\ k x^{2}, & 0 \leqslant x<1, \\ 1, & x \geqslant 1, \end{array}\right. $$ 则 $k$ 等于 () . (A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) 1 解: 由于连续型随机变量的分布函数是连续函数, 因此, 由 $F(x)$ 在 $x=1$ 处连续得到 $F\left(1^{-}\right)=F(1)$, 即 $k=1$. 故应选 (D). 本题也可以通过先求 $X$ 的概率密度来解题. 由于 $X$ 的概率密度 $$ p(x)=F^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2 k x, & 0<x<1, \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right. $$ 因此, 由 $\int_{-\infty}^{\infty} p(x) \mathrm{d} x=1$ 解得 $$ \int_{0}^{1} 2 k x \mathrm{~d} x=k=1 \text {. } $$ 本题测试连续型随机变量分布函数的性质. 由于对任意一个随机变量, 分布函数右连续总 是满足的, 因此分布函数在任意一点处连续等价于左连续,这为具体计算提供了方便. ## 复习内容 ## 1 空间解析几何 要求:(1)理解向量的概念及其表示, 掌握向量的线性运算、数量积、向量积及混合积，了解 两个向量垂直、平行的条件，掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进 行向量运算的方法。 (2)掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相至之间的位置关系解决 有关问题。 (3)了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程及母线平 行于坐标轴的柱面方程, 了解空间曲线的参数方程和一般方程以及空间曲线在坐标面上的投 影曲线方程。 ### 1 向量代数 ## 1. 向量及其线性运算 既有大小又有方向的量, 如位移、速度、力等这类量, 称为向量. 向量 $\boldsymbol{a}$ 的大小称为向量 $\boldsymbol{a}$ 的模, 记作 $|a|$. 向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算. 向量 $\boldsymbol{a}$ 与向量 $\boldsymbol{b}$ 的和 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 是一个向量 $\boldsymbol{c}$, 利用平行四边形法则或三角形法则可得向量 $\boldsymbol{c}$, 如图 1.1-1,1.1-2 所示. 向量的加法符合下列运算规律: (1)交换律 $a+b=b+a$. (2)结合律 $(a+b)+c=a+(b+c)$. 向量 $\boldsymbol{b}$ 与向量 $\boldsymbol{a}$ 的差 $\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$ 定义为向量 $\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的负向量 $-\boldsymbol{a}$ 的和, 即 $b-a=b+(-a)$. 由向量加法的三角形法则可知: $$ |a+b| \leqslant|a|+|b|,|a-b| \leqslant|a|+|b| \text {. } $$ 向量 $a$ 与实数 $\lambda$ 的积记作 $\lambda a$, 它是一个向量,它的模 $$ |\lambda a|=|\lambda||a|, $$ 它