### 百度之星程序设计大赛迷宫问题解析
#### 一、题目背景及目标
2014年的百度之星程序设计大赛中有一道名为“迷宫问题”的题目，该题目要求参赛者帮助一只名为“度度熊”的角色探索一个由m×n矩阵构成的迷宫。迷宫的规则如下：
- 度度熊从迷宫的左上角出发；
- 只能向上、向下或向右移动，并且不能重复走过已经走过的格子；
- 每个格子内可能有正数或负数的金币，正数表示获得金币，负数表示失去金币（甚至需要写欠条）；
- 目标是从迷宫左上角走到右上角，并使得度度熊身上的金币数尽可能多。
#### 二、算法分析
此问题可以通过动态规划的方法来解决。动态规划的关键在于识别状态转移方程，以及如何将复杂问题分解为更小的子问题。
**状态定义：**
- `F(i, j)` 表示从格子 `(i, j)` 到达迷宫右上角 (0, n-1) 的最大金币数；
- `g1(i, j)` 表示从格子 `(i, j)` 出发，首先向右或向上的最大金币数；
- `g2(i, j)` 表示从格子 `(i, j)` 出发，首先向右或向下的最大金币数。
**边界条件：**
- 当 `(i, j)` 位于右上角 (0, n-1) 时，`F(0, n-1) = a[0][n-1]`，其中 `a[i][j]` 表示该格子的金币数；
- 当 `(i, j)` 位于最右侧列时，`g1(i, j) = a[i][j] + F(i-1, j)`；
- 当 `(i, j)` 位于最上侧行时，`g1(i, j) = a[i][j] + F(i, j+1)`。
**状态转移方程：**
1. 对于 `g1(i, j)`：
- 如果 `i == 0`，则 `g1(i, j) = a[i][j] + F(i, j+1)`；
- 否则，`g1(i, j) = a[i][j] + max(g1(i-1, j), F(i, j+1))`。
2. 对于 `g2(i, j)`：
- 如果 `i == m-1`，则 `g2(i, j) = a[i][j] + F(i, j+1)`；
- 否则，`g2(i, j) = a[i][j] + max(g2(i+1, j), F(i, j+1))`。
3. 对于 `F(i, j)`：
- 如果 `i == 0` 或 `j == n-1`，则参照边界条件处理；
- 否则，`F(i, j) = a[i][j] + max(g1(i-1, j), g2(i+1, j), F(i, j+1))`。
#### 三、实现细节
1. **初始化**：
- 初始化二维数组 `a[m][n]`，其中 `a[0][0]` 为迷宫的左上角；
- 初始化三个二维数组 `F[m][n]`, `g1[m][n]`, `g2[m][n]` 来存储各个状态的结果。
2. **计算顺序**：
- 从右上角开始逆序填充 `F`、`g1` 和 `g2` 数组。
3. **输出结果**：
- 输出 `F(0, 0)` 即为从迷宫左上角出发可获得的最大金币数。
#### 四、代码实现
以下是一个简单的C++代码实现：
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main() {
int T;
cin >> T;
for (int t = 1; t <= T; ++t) {
int m, n;
cin >> m >> n;
vector<vector<int>> a(m, vector<int>(n));
vector<vector<int>> F(m, vector<int>(n)), g1(m, vector<int>(n)), g2(m, vector<int>(n));
// 输入数据
for (int i = 0; i < m; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
cin >> a[i][j];
}
}
// 边界条件
F[0][n-1] = a[0][n-1];
for (int i = 0; i < m; ++i) {
g1[i][n-1] = a[i][n-1] + F[i-1][n-1];
}
for (int j = 0; j < n-1; ++j) {
g1[0][j] = a[0][j] + F[0][j+1];
}
// 填充动态规划表
for (int i = m-1; i >= 0; --i) {
for (int j = n-2; j >= 0; --j) {
g1[i][j] = a[i][j] + max(g1[i-1][j], F[i][j+1]);
g2[i][j] = a[i][j] + max(g2[i+1][j], F[i][j+1]);
F[i][j] = a[i][j] + max({g1[i-1][j], g2[i+1][j], F[i][j+1]});
}
}
cout << "Case #" << t << ": " << F[0][0] << endl;
}
return 0;
}
```
通过以上分析和代码实现，我们可以有效地解决百度之星程序设计大赛中的迷宫问题。
