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数值分析ppt（数值积分）

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数值分析

数值积分

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数值分析ppt（数值积分）

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• 7.1 牛顿-柯特斯求积公式

• 7.2 复化求积公式

• 7.3 龙贝格(Romberg)公式

• 7.4 高斯(Gauss)型求积公式

第七章数值积分

实际问题当中常常要计算积分，有些数值方法，如微分

方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系.

对定积分，设在区间上可积，

为的原函数，则根据牛顿－莱布尼兹公式，有

但在工程计算和科学研究中，往往会遇到被积函数

的以下几种情况：

()fx

[ , ]ab

()Fx

()fx

( ) ( ) ( )

f x dx F b F a



()fx

第七章数值积分

引言

(3) 被积函数本身没有解析表达式，是用表格的

形式给出，例如为实验或测量数据．

()fx

(1) 的原函数不能用初等函数表达，例如

()fx

1 sin

( ) , , sin ,

f x e x





(2) 的原函数可以用初等函数表达，但表达

式非常复杂，计算极不方便，

()fx

()Fx

32)(

 xxxf

例如并不复杂，但其原函数却十分复

杂

2 2 2 2 2

1 3 9

( ) 2 3 2 3 ln( 2 2 3)

4 16

16 2

F x x x x x x x x      

这种近似计算方法也就是本章要介绍的数值积分，主

要包括：牛顿-柯特斯求积公式、复化求积公式、龙贝格求

积公式和高斯求积公式等．

对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分困难的。

由此可见, 通过原函数来计算积分有它的局限性, 因而研

究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或

很难解决的积分问题, 这时需要用数值解法来建立积分的

近似计算方法。

由积分中值定理，对连续函数 f (x)，在区间[a, b]内至少

存在一点



，使

( )d ( ) ( ),

I f x x b a f



  



数值积分的理论依据

即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 f (



) 的矩形

面积。

但是点 ξ 的具体位置一般是未知的，因而 f (



) 的值也是未

知的，称 f (



) 为 f (x) 在区间[a,b]上的平均高度。那么只要对平

均高度 f (



) 提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法。

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