6.2013级高数上期末试题及答案.doc
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1
山东大学 2013-2014 学年 上 学期 高等数学（一） 试卷
一、填空题（共 5 小题，每题 4 分，共 20 分）。
1、
1 ln(1 2 ), 0
( ) , 0 _______ .
3 e , 0
x
x x
f x x a
a x
+ - £
ì
= = =
í
+ >
î
设函数 在 处连续，则
2、
2 _______ .x过点( 1, 2) ，且切线斜率为 的曲线方程为
3、
2
2
0
4 2
lim ________ .
e 1
x
x
x
®
- -
=
-
极限
4、
3
( ) e 0 ________ .
xy
y y x x y y
¢
= - + = =设 由方程 确定，则
5、
3
1
2 d _______.x x
-
- =
ò
二、计算题（共 6 小题，每题 10 分，共 60 分）
arctan6 10 d .x x x
ò
、（ 分 分）求不定积
0
0
0
( ) ( )d
( ) 0 (0) 0, (0) 07 10 . lim .
( )d
x
x
x
x t f t t
f x x f f
x f x t t
®
-
¢
= = ¹
-
ò
ò
设 连续，在 处可导，且）、（ 分 求
8、（10 分）
2
2
( ) ( ) ( )f x x f x y f x
x
= + =设 ，求函数 的单调区间，极值，曲线 的凹凸性、拐点.
9、（10 分）
2 4 e
x
y y y x
¢¢ ¢
- + =求解微分方程 .
10 、 （ 10 分 ）
3
0
sin ( )
( ) 0 lim (0), (0) (0).
x
x xf x
f x x f f f
x
®
+
¢ ¢¢
=设 在 处二阶可导，且 =0, 求 及
11、（10 分）
0
( ) (0) 0, (0) 0, ( ) 0. ( )
( )
( , ( ))( 0) lim .
( )
x
f x f f f x y f x
xf u
x f x x x u
uf x
®
¢ ¢¢
= = > =
¹
设 具有二阶连续导数， 并且在曲线 上任意
一点 作此曲线的切线，此切线在 轴上的截距记为 ，求
三、证明题（共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）
12、（10 分）
[ ] [ ]
( ), ( ) , ( ) 0. ,
( ) ( )d ( ) ( )d .
b b
a a
f x g x a b g x a b
f x g x x f g x x
x
x
> Î
=
ò ò
设函数 在 上连续，且 证明存在一点 ，使
13、（10 分）
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