有限元方法例题及解析.doc

《有限元方法例题及解析》的文档详细阐述了如何运用有限元方法求解偏微分方程（PDE）的数值解，并提供了C语言实现的代码示例。以下是该文档涉及的主要知识点： 1. 有限元方法：有限元方法是一种数值计算方法，常用于求解复杂的工程和物理问题中的偏微分方程。它将连续区域划分为许多互不重叠的子区域（有限元），然后在每个子区域内部构造近似的解，最终通过整合所有子区域的解来获得整个区域的近似解。 2. 变分形式：有限元方法的第一步通常涉及将PDE转换为变分形式，即找到满足特定条件的函数。文档中提到了利用Green公式将原问题转化为变分形式。 3. 空间离散：在变分形式的基础上，通过剖分区域和构造节点基函数，形成有限元子空间，从而得到半离散格式。这意味着将连续函数空间离散化为有限维的基函数空间。 4. 时间离散：在得到半离散格式后，文档采用了向后欧拉格式对时间进行离散，这是一种隐式时间积分方法，对非线性项处理时需要用到牛顿迭代法。 5. 牛顿迭代法：当向后欧拉格式中包含非线性项时，为求解每个时间步的方程，需要使用牛顿迭代法。迭代过程中，初始值通常由上一步的解给出。 6. 计算流程： - 初始条件：根据方程的准确解计算初值。 - 网格划分：对区域进行三角剖分。 - 编码与坐标：对节点进行编码，并计算实际坐标，识别边界点。 - 单元属性：构建单元形状函数，计算雅可比矩阵，利用高斯求积公式求解单元刚度矩阵和列阵。 - 总体矩阵：合成总刚度矩阵和总列阵。 - 边界条件：处理本质边界条件，解线性方程组。 - 时间迭代：利用牛顿迭代法求解每个时间步的数值解。 - 误差分析：计算L2误差，评估解的精度。 7. 错误分析：文档给出了L2误差的阶数与时间和空间步长的关系，并通过具体实例展示了在不同步长下的误差情况。 8. C语言实现：文档末尾给出了一个简单的C程序示例，展示了如何实现有限元方法的计算流程，包括定义初值函数、右端函数以及计算节点坐标等基本操作。 通过这个文档，读者不仅可以理解有限元方法的基本原理，还能学习到如何编程实现有限元方法求解PDE的数值解。