动态规划是解决复杂问题时的一种算法思想，它将一个问题分解为相互重叠的子问题，通过求解子问题来求解原问题。动态规划在求解问题时，一般遵循以下步骤：
将原问题分解为子问题，这些子问题与原问题形式相同或类似，但规模更小。解决所有子问题后，原问题自然得到解决。在解决子问题的过程中，一旦某个子问题的解被求出，就将其保存起来，以免重复计算，这就是所谓的“记忆化”过程，可以有效提高算法效率。
确定状态。在动态规划中，状态是指与子问题相关的变量的一组取值，它描述了某个时刻问题的状况。每个状态对应于一个或多个子问题，而状态的值就是对应子问题的解。所有状态构成问题的状态空间，状态空间的大小直接决定了动态规划解决问题的时间复杂度。
接着，需要确定一些初始状态（边界状态）的值。初始状态通常是问题的起始点，如数字三角形问题中的底边数字。
然后，确定状态转移方程。状态转移方程描述了状态之间的转移关系，也就是如何从一个或多个已知状态得到另一个状态的值。这个方程通常是动态规划问题的核心，它决定了算法的效率和复杂度。
动态规划解决问题时有几个显著的特点。问题应具有最优子结构特性，即问题的最优解包含子问题的最优解。问题应具有无后效性，意味着状态的确定只和当前的状态有关，和达到当前状态的路径无关。
动态规划的三要素包括：问题的阶段、每个阶段的状态以及从前一个阶段转化到后一个阶段之间的递推关系。这三要素是动态规划算法设计的关键。
具体到题目中的几个实例：
- 01背包问题：此类问题通常涉及容量限制，需要在不超过容量限制的前提下选取物品，使得总价值最大。01背包问题的动态规划解法，是通过构建一个二维数组来记录每个阶段的最大价值，根据物品是否被选中进行状态转移。
- 数字三角形问题：这种问题要求从三角形的顶部到底部选择一条路径，使得路径上的数字之和最大。解决该问题的动态规划方法是，自底向上计算每个位置的最大路径和，最终在顶部得到最大路径和。
- 最大路径和问题：此问题要求找出图中一条从起点到终点的最大路径和。使用动态规划，可以建立一个与图结构相对应的动态规划表，通过逐步更新表中的值，最终得到最大路径和。
除了上述题目外，动态规划还广泛应用于数组最大不连续递增子序列、数组最大连续子序列和等问题。比如在数组最大不连续递增子序列问题中，每增加一个数字，就与当前的最大值比较，如果当前数字大于最大值，则最长子序列长度加一，并更新最大值。而在数组最大连续子序列和问题中，需要维护一个最优决策数组，通过比较当前元素与之前累计的最大子序列和来决定更新当前元素值还是将当前元素加到累计和中。
综合以上，动态规划是解决一系列具有特定结构优化问题的有效工具，它通过分析问题结构，将复杂问题化简为子问题求解，利用状态转移关系建立递推模型，从而求得最优解。动态规划解决的典型问题包括背包问题、最短路径问题、最大子序列和问题等。动态规划的特点是子问题重叠，问题求解过程中需要保存子问题的解，这使得重复计算得以避免，从而提高算法效率。正确运用动态规划的三要素：问题的阶段、每个阶段的状态和状态转移方程是设计动态规划算法的关键。在实际应用中，动态规划能够解决很多看似复杂但又有一定规律可循的问题。
