圆桌问题的一种解决方案

Josephus问题： 设有n个人围坐在一个圆桌周围，现从第s个人开始报数，数到第m的人出列，然后从出列的下一个重新开始报数，数到第m的人又出列……如此反复，直到所有的人全部出列为止。Josephus问题是：对于任意给定的n，s和m，求出按出列次序得到的n个人员的序列。 现以n=8，s=1，m=4为例，问题的求解过程如图2.10所示。图中 指向开始报数位置，带圆圈的是本次应该出列的人员。若初始的顺序为n1,n2,n3,n4,n5,n6,n7,n8,则问题的解为n4,n8,n5,n2,n1,n3,n7,n6。 《Josephus问题及其解决方案》 Josephus问题是一个经典的理论与实践相结合的数学问题，它源自一个古老的传说。问题设定是这样的：有n个人围坐在一个圆形的桌子旁，从第s个人开始计数，每数到第m个人就会被剔除，然后从剔除者的下一个人继续计数，直到所有人都被剔除。问题的关键在于找出按照剔除顺序排列的所有人的序列。 以n=8，s=1，m=4为例，初始顺序为n1, n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8。在这个例子中，从n1开始，每数到第4个人就会出列，即n4出列，然后从n5开始继续数，n8会出列，以此类推。最终的出列顺序是n4, n8, n5, n2, n1, n3, n7, n6。 解决Josephus问题通常需要借助数据结构和算法。由于问题的本质是在线性表上进行多次删除操作，所以可以使用线性表（顺序表或链表）来模拟这一过程。以下是解决问题的一般步骤： 1. 首先创建一个表示Josephus序列的空线性表，可以通过插入操作将初始序列中的元素（n1到n8）添加到表中。 2. 从第s个元素开始，找到并删除表中的第m个元素，然后从删除元素的下一个元素开始，继续寻找并删除第m个元素，直至线性表为空。 在具体实现时，可以使用顺序表或循环链表。顺序表的实现中，可以将初始序列1, 2, 3, ..., n存储在一个数组中，然后通过数组下标进行操作。例如，当s=1时，第1个人在下标0的位置，第m个人是下标为(s-1+m-1) % n的元素。删除操作涉及移动元素以覆盖被删除的元素，然后从新头部开始重复此过程。 以下是一个使用C语言实现的顺序表版本Josephus问题的解决方案，其中`josephus_seq`函数负责执行核心的剔除逻辑，`createNullList_seq`用于创建空顺序表，`insert_seq`和`delete_seq`则分别用于插入和删除元素。 ```c #include "stdio.h" #define Maxnum 100 #define FALSE 0 #define TRUE 1 typedef int DataType; void josephus_seq(PSeqList palist, int s, int m){ int s1, i, w; s1 = s - 1; for(i = palist->n; i > 0; i--){ s1 = (s1 + m - 1) % i; w = palist->element[s1]; printf("Out element %d\n", w); delete_seq(palist, s1); } } int main(){ PSeqList jos_alist; int i, k, n, s, m; printf("\n please input the values (<100) of n="); scanf("%d ,&n"); printf("please input the values of s ="); scanf("%d",&s); printf("please input the value of m ="); scanf("%d",&m); jos_alist = createNullList_seq(n); for(i = 0; i < n; i++) insert_seq(jos_alist, i, i + 1); josephus_seq(jos_alist, s, m); } ``` 这个程序首先读取用户输入的n, s和m值，然后创建一个大小为n的顺序表并将1到n的数字填充进去，最后调用`josephus_seq`函数按照Josephus规则进行剔除并打印结果。 当n和m较大时，手动解决Josephus问题变得极其复杂，因此计算机程序的优势得以体现。上述的C语言实现仅是众多解决方案之一，实际上还可以使用递归、动态规划等多种方法解决，这些方法各有优劣，可以根据具体场景选择合适的方法。 总结起来，Josephus问题是一个引人入胜的数学问题，它涉及到了循环、计数、删除等一系列操作，通过编程解决这些问题可以加深对数据结构和算法的理解，同时也能训练我们的逻辑思维能力。