**LPP（Locality Preserving Projections）局部保持投影**是一种非线性降维方法，主要应用于高维数据集的可视化和预处理。在机器学习和数据挖掘领域，当数据点分布在复杂的流形结构上时，LPP算法能有效地保持数据的局部几何信息。它通过学习数据点之间的局部邻域结构，将高维数据映射到低维空间，同时尽可能地保持原有的邻近关系。
在MATLAB编程中实现LPP算法，通常包括以下几个关键步骤：
1. **构建邻接矩阵**：`constructW.m`可能就是负责这个任务。这个函数基于欧氏距离或其他相似度度量，如余弦相似度，来定义数据点之间的邻接关系。邻接矩阵W记录了每个数据点与其最近邻的距离或相似度信息。
2. **计算拉普拉斯矩阵**：LPP的核心在于拉普拉斯矩阵，它是邻接矩阵的标准化形式。在`LPP.m`中，可能会包含这部分代码，计算公式为 `L = D^(-1/2)WD^(-1/2)`，其中D是对角矩阵，对角线元素为W矩阵对应行的和，表示每个点的度。
3. **奇异值分解（SVD）**：在`mySVD.m`中，可能会实现自定义的SVD函数，因为LPP要求对拉普拉斯矩阵进行奇异值分解。SVD将拉普拉斯矩阵分解为`UΣV'`，其中U是左奇异向量，Σ是对角矩阵，包含了奇异值，V是右奇异向量。LPP选择前k个最大的奇异值对应的奇异向量构成投影矩阵。
4. **降维投影**：使用`LGE.m`（可能是“局部几何嵌入”的缩写）或者在`LPP.m`中，根据投影矩阵将原始数据点投影到低维空间。这个过程可以表示为`Y = UX_k`，其中X_k是保留了前k个奇异值的数据点的低维表示。
5. **距离计算**：`EuDist2.m`用于计算数据点间的欧氏距离平方，这是衡量样本之间相似度的基础。在LPP中，这主要用于构建邻接矩阵和后续的降维评估。
在实际应用中，LPP算法被广泛用于聚类、分类、特征提取等任务，尤其是在处理图像、文本和生物信息学数据时。由于其对数据局部结构的保护特性，LPP在处理非线性流形数据时表现出色。不过，需要注意的是，LPP算法对噪声敏感，且计算复杂度相对较高，因此在大数据集上可能效率较低。为了优化，人们发展了若干改进版本，如NPE（Normalized Projected Euclidean distance）和LLE（Local Linear Embedding）等。
