fisher判别分析法

**Fisher判别分析法（Fisher Discriminant Analysis, FDA）**是一种经典的统计学方法，主要用于高维数据的降维和分类。它由英国生物学家Ronald Fisher在1936年提出，常用于模式识别和数据分析领域。Fisher判别分析的核心思想是寻找能够最大化类别间差异、同时最小化类别内差异的线性组合特征。 ### FDA的基本原理 Fisher判别分析的目标是找到一个投影向量，使得投影后的数据在新的坐标系下类别之间的可分性最大。这通过最大化类间距离与类内距离之比，即Fisher准则函数来实现。数学上，这个准则可以表示为： \[ J = \frac{(\mathbf{w}^T\boldsymbol{\mu}_1 - \mathbf{w}^T\boldsymbol{\mu}_2)^2}{\mathbf{w}^T\Sigma_1\mathbf{w} + \mathbf{w}^T\Sigma_2\mathbf{w}} \] 其中，\(\mathbf{w}\) 是投影向量，\(\boldsymbol{\mu}_1\) 和 \(\boldsymbol{\mu}_2\) 分别代表两类样本的均值向量，\(\Sigma_1\) 和 \(\Sigma_2\) 是对应的协方差矩阵。 ### FDA的步骤 1. **数据预处理**：对数据进行标准化，使得各特征在同一尺度上。 2. **计算均值向量**：每种类别的样本计算其均值向量。 3. **计算协方差矩阵**：计算总体协方差矩阵或者分别计算各类别的协方差矩阵。 4. **优化Fisher准则**：求解投影向量\(\mathbf{w}\)，最大化准则函数J。 5. **投影数据**：将原始数据投影到由\(\mathbf{w}\)定义的新空间。 6. **分类**：使用投影后的数据进行分类，如最近邻分类、支持向量机等。 ### `fsFisher.m`代码可能涉及的关键点 在提供的`fsFisher.m`文件中，通常会包含以下关键步骤： 1. **读取数据**：加载样本数据，包括特征和相应的类别标签。 2. **预处理**：对数据进行标准化或归一化。 3. **计算均值和协方差**：计算所有样本的均值和协方差矩阵。 4. **优化Fisher判别函数**：使用拉格朗日乘数法或其他优化算法求解最佳投影向量\(\mathbf{w}\)。 5. **投影数据**：将原始数据投影到新空间，并存储投影结果。 6. **可视化**：可能包括二维或三维投影图，以直观展示不同类别的分布。 7. **评估**：使用交叉验证或其他评估方法检查分类性能。 ### 应用场景 Fisher判别分析广泛应用于机器学习、模式识别、计算机视觉、生物信息学等领域。例如，在人脸识别中，可以用来提取有效的面部特征；在基因表达数据分析中，用于筛选具有鉴别能力的基因；在高维数据降维时，作为PCA（主成分分析）的替代方法，因为Fisher判别更注重类别区分。 Fisher判别分析是一种强大的工具，它不仅能有效地降低数据维度，还能保留尽可能多的类别信息，从而提高分类的准确性和效率。通过理解和应用`fsFisher.m`这样的代码，我们可以更好地理解和实现这一经典算法。