基于优化的5次多项式基于优化的5次多项式文档

### 基于优化的5次多项式点到点轨迹生成技术详解 #### 一、基础知识及假设条件 ##### 1. 基本假设 - **起点与终点位置及曲率约束**： - 已知起点 \(P_t(x_s, y_s, \theta_s)\) 及其曲率约束 \(\kappa_s \in [\kappa_{\min}^s, \kappa_{\max}^s]\)。 - 已知终点 \(P_t(x_e, y_e, \theta_e)\) 及其曲率约束 \(\kappa_e \in [\kappa_{\min}^e, \kappa_{\max}^e]\)。 ##### 2. 多项式模型及曲率计算 - **5次多项式模型**：\(y(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4 + fx^5\)。 - **曲率计算公式**：\(\kappa = \frac{(1 + (y')^2)^{3/2}}{|y''|}\)，其中 \(y' = \frac{dy}{dx}\), \(y'' = \frac{d^2y}{dx^2}\)。 ##### 3. 优化目标设定 - **最小转弯半径限制**：根据车辆的最小转弯半径限制，多项式曲线的曲率 \(\kappa\) 不能超过最大值 \(\frac{1}{R_{\min}}\)。 - **优化目标**：找到多项式的系数 \([a, b, c, d, e, f]\)，使得曲率 \(\kappa\) 在给定的范围内尽可能地平滑变化。具体来说，就是通过求解二次规划问题来实现这一目标：\[q = \min \int_{x_s}^{x_e} (y'')^2 dx\] 其中 \(q\) 是优化的目标函数，\(x_s\) 和 \(x_e\) 分别是起点和终点的位置坐标。 #### 二、约束条件 ##### 1. 等式约束 - 起点处的多项式值及其一阶导数等于起点的坐标值和斜率值：\[y(x_s) = y_s, \quad y'(x_s) = \tan(\theta_s)\] - 终点处的多项式值及其一阶导数等于终点的坐标值和斜率值：\[y(x_e) = y_e, \quad y'(x_e) = \tan(\theta_e)\] ##### 2. 不等式约束 - 起点和终点的曲率值需满足给定的范围：\[\kappa_s \leq \kappa_{\max}^s, \quad \kappa_e \leq \kappa_{\max}^e\] - 且曲率值不得超出最大允许曲率：\[\kappa \leq \frac{1}{R_{\min}}\] #### 三、特殊情况处理 - **平移起点至原点**：计算前将起点平移到坐标原点，简化计算过程。 - **角度调整**：若起点和终点的角度差超过 \(\pi\)，需将二者的角度各自旋转 \(\pi\)，确保它们之间的角度差在 \([-pi, pi)\) 内。 - **曲率符号调整**：如果中间有旋转操作改变起点和终点的相对大小，则生成的轨迹在最后需要反转曲率的符号。 - **特定情况处理**： - 若起点和终点在不同的象限且角度差超过 \(\pi\)，需先进行角度变换，再进行计算。 - 特别地，当起点和终点的横坐标相同 (\(x_s = x_e\)) 时，无法使用此方法计算，即存在多解或无解的情况。 #### 四、工程应用中的注意事项 - **停车轨迹的曲率设定**：应根据实际情况合理设定曲率范围，避免过大的曲率导致车辆行驶困难。 - **路径优化**：在实际应用中，需要考虑多种因素，包括但不限于道路宽度、车辆尺寸等因素，并结合实际路况进行综合优化。 - **数值稳定性**：在计算过程中需要注意数值稳定性的控制，特别是当起点或终点的角度接近 \(\pm \frac{\pi}{2}\) 时，曲率的变化可能会非常剧烈，这可能导致计算结果不稳定或不可行。 - **优化求解**：最终的目标函数可以通过求解二次规划问题来获得最优解。具体而言，需要求解如下形式的二次规划问题：\[q = \min \int_{x_s}^{x_e} (y'')^2 dx\] 其中，\(q\) 为目标函数，\((y'')^2\) 代表曲率平方，而积分区间为起点 \(x_s\) 到终点 \(x_e\)。 基于优化的5次多项式点到点轨迹生成技术是一种有效的路径规划方法，尤其适用于自动泊车系统等应用场景。通过合理设定参数并采用适当的约束条件，可以有效地规划出既满足安全性又具有可行性的路径。然而，在实际应用中还需要考虑到更多复杂的因素，并进行适当的工程预处理和特殊处理以提高系统的鲁棒性和适用性。