研究生《最优控制》期末试卷2021真题；Problems for examination 1) Explain briefly the features of the main approaches and the relationship between these approaches used to solve optimal control problems. (20 points)；
【最优控制】是控制理论中的一个关键分支，它旨在寻找一条控制输入序列，使得系统按照预设的目标运行，同时最大化或最小化某个性能指标。在研究生级别的课程中，理解并掌握最优控制的主要方法及其相互关系至关重要。2021年中南大学《最优控制》期末试卷的一个重点问题是要求学生阐述解决最优控制问题的主要方法的特点以及这些方法之间的关系。
1) 解决最优控制问题的主要方法通常包括动态规划、变分法、Lagrange乘子法、Pontryagin最大原理等。动态规划是通过构建Bellman方程来求解问题，适用于状态空间有限或连续但可离散化的情况。变分法，如泛函分析中的变分原理，将问题转化为求解使性能指标极小化的控制函数。Lagrange乘子法引入了约束条件，通过求解包含拉格朗日乘子的优化问题来找到最优解。而Pontryagin最大原理则通过建立Hamiltonian系统，利用边界条件寻找满足 Pontryagin's 法则的最优控制。
2) 第二题要求解一个系统的状态方程，并求得最优控制以最小化给定的功能泛函。这可能涉及到对状态方程的解析解，以及应用如变分法或动态规划的工具来找到使性能指标最小的控制变量。
3) 第三题则涉及求解连续时间系统的最优控制和最优轨迹，同样需要应用Pontryagin最大原理或者其他的最优控制理论，并可能需要数值方法来求解非线性微分方程。还需要绘制最优控制u(t)和最优状态轨迹tx。
4) 对于离散系统的最优控制问题，一般采用动态规划的迭代算法，如Bellman的迭代公式，来求解使性能指标最小化的控制策略和状态路径。此题可能需要理解如何设置转移矩阵和求解递推关系。
5) 最后一个问题涉及图论中的最短路径问题，这可以看作是一个离散优化问题，可能需要运用Dijkstra算法或A*搜索算法来找出公交系统中从'S'到'F'的最小时间路径。
这五道题目覆盖了最优控制理论的多个核心概念，不仅测试了学生对基本理论的理解，还考察了他们在实际问题中的应用能力。解决这些问题需要扎实的数学基础，包括微积分、线性代数、概率论和图论，以及对最优控制方法的深入理解和灵活运用。
