这份文档是福建省莆田第七中学2020-2021学年高二下学期的数学期中考试试卷，包含了选择题、填空题和解答题。试卷的主要内容围绕高中数学的常见知识点展开，涉及了微积分、函数的极值、导数的应用等多个方面。
1. **导数与极值**：
- 在问题1和5中，考察了导数的计算及其应用。求导是确定函数增减性及极值的关键，例如，计算函数 `(x^2cos x)` 的导数。
- 问题4和11提到了函数的极值点，通过求导找到函数的导数为零的点，这些点可能是极值点，例如，找到函数 `f(x) = x^3 + ax^2 + 3x - 9` 在 `x = -3` 处的极值，需解方程 `f'(x) = 0`。
2. **函数的单调性**：
- 问题2、9和14询问函数的单调区间，这涉及到导数与函数单调性的关系。例如，函数 `f(x) = x^3 - 3x^2 + 1` 的单调区间，可以通过分析 `f'(x)` 的正负来确定。
- 问题10考察了曲线 `y = ex` 在点 `(2, e^2)` 处的切线，利用导数求得切线斜率，然后计算切线与坐标轴围成的三角形面积。
3. **切线与导数**：
- 问题3、6和17中涉及到曲线的切线，切线斜率即为函数在该点的导数值。例如，问题3求 `y = ln x` 在 `x = 2` 处的切线斜率，问题6根据导数图像判断函数极小值点的数量。
- 问题18和20中，切线斜率与函数极值结合，通过求解切线方程和极值条件，可以找出最佳生产和销售策略。
4. **填空题**：
- 填空题13、14和16考察具体函数的导数值、最值和单调性条件。例如，要求 `y = xcos x` 在某点的导数值，以及 `f(x) = x^3 - 3x + 1` 在区间 `[-3, 0]` 上的最大值。
5. **解答题**：
- 解答题17、19和21涉及求函数的最值和单调区间，通常需要利用导数法，通过求解导数为零的点来确定函数的极值点，从而找到最值。
- 解答题18、21和22探讨了实际问题中的优化问题，如生产利润最大化和函数增区间，需要综合应用微积分和实际背景知识。
6. **几何意义**：
- 问题12和20涉及到曲线的切线与几何形状的关联，如等腰三角形的构建，以及直线与曲线的交点数量，这需要对导数的几何意义有深刻理解。
这份试卷覆盖了高中数学中的核心概念，包括导数、函数的性质、极值、单调性、切线、最值问题和实际应用。对于学生来说，理解和掌握这些知识点是提高数学能力的关键。
