【函数的零点与方程的根】
函数的零点是指函数值等于零的自变量值，即如果函数 \( y=f(x) \) 满足 \( f(x)=0 \)，那么 \( x \) 称为该函数的零点。在数学中，函数的零点与方程 \( f(x)=0 \) 的实数根是等价的概念。换句话说，当函数 \( y=f(x) \) 的图像与 \( x \) 轴相交时，交点的横坐标就是函数的零点。
例如，在提供的练习中，我们看到几个简单的函数，如 \( f(x)=2x-4 \) 和 \( f(x)=x^2-4x+3 \)，要求求解它们的零点。对于线性函数 \( f(x)=2x-4 \)，可以通过解方程 \( 2x-4=0 \) 得到零点；而对于二次函数 \( f(x)=x^2-4x+3 \)，可以使用因式分解或者求根公式来找到零点。
**变号零点与零点存在性定理**
变号零点是指函数在某区间两端点的函数值异号，即 \( f(a)f(b)<0 \)。根据零点存在性定理，如果函数在闭区间 [a, b] 上连续，且两端点的函数值异号，则在该区间内至少存在一个变号零点。这意味着函数的图像在区间内必然穿过 \( x \) 轴，即至少有一个实数根。
**二分法求零点**
二分法是一种常用的数值求解方法，用于找到函数变号零点的近似值。具体步骤如下：
1. **确定初始区间**：首先需要确保函数在给定区间 [a, b] 内有变号零点，即 \( f(a)f(b)<0 \)。
2. **取中点**：计算区间中点 \( c = \frac{a+b}{2} \)。
3. **判断中点函数值**：计算 \( f(c) \)。如果 \( f(c)=0 \)，那么 \( c \) 就是零点；如果 \( f(c) \) 与 \( f(a) \) 或 \( f(b) \) 符号相反，那么零点在子区间 [a, c] 或 [c, b] 内；如果 \( f(c) \) 与 \( f(a) \) 和 \( f(b) \) 符号相同，那么继续将包含零点的子区间一分为二，重复以上步骤。
4. **循环迭代**：不断重复上述过程，每次都将包含零点的区间长度减半，直到满足所需的精度要求。
**例题解析**
在课件中的例题中，第一个例子展示了如何使用二分法求解三次多项式 \( f(x)=x^3-3x^2+2x-6 \) 在区间 [0, 4] 内的零点。通过计算端点和中点的函数值，最终找到 \( x_2=3 \) 是一个零点。
第二个例子要求求解 \( f(x)=x^3+x^2-2x-2 \) 的一个正零点，精度要求误差不超过 0.1。通过迭代二分法，最终确定区间 [1.375, 1.5] 内的中点 \( x_3=1.438 \) 作为零点的近似值。
**练习解答**
1. 函数 \( f(x)=-x^2+8x-16 \) 在区间 [3, 5] 上有一个零点，因为 \( f(3)f(5)<0 \) 且函数在该区间内连续。
2. 函数 \( f(x)=x^3-2x^2+3x-6 \) 在区间 [-2, 4] 上的变号零点必定在 [-2, 1] 内，因为 \( f(-2)f(1)<0 \)，且函数在该区间内连续。
总结来说，二分法是寻找函数零点的有效数值方法，尤其适用于不能直接解析求解的方程。它依赖于函数在特定区间内的连续性和变号性质，通过不断分割区间逼近零点，从而得到零点的近似值。在实际应用中，这种方法被广泛用于科学计算和工程问题的解决。
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