【知识点梳理】
1. 抛物线的定义：在平面上，到定点F（焦点）的距离与到定直线l（准线）的距离相等的所有点的轨迹构成一个抛物线。焦点F不位于准线l上。
2. 抛物线的标准方程：抛物线的方程可以表示为以下四种形式：
- \( (y-k)^2 = 4px \)，焦点在x轴正方向，对称轴为x轴。
- \( (x-h)^2 = 4py \)，焦点在y轴正方向，对称轴为y轴。
- \( x^2 = 2py \)，焦点在y轴正方向，对称轴为y轴。
- \( y^2 = 2px \)，焦点在x轴正方向，对称轴为x轴。
3. 抛物线的性质：
- 焦点F的坐标与方程的关系：\( F(\frac{p}{2}, 0) \) 或 \( F(0, \frac{p}{2}) \)。
- 准线l的方程：\( x = -\frac{p}{2} \) 或 \( y = -\frac{p}{2} \)。
- 范围：\( x \in (-\infty, +\infty) \) 或 \( y \in (-\infty, +\infty) \)。
- 顶点坐标：\( (0, 0) \)。
- 对称轴：与方程中的二次项系数有关，一次项为0时，对称轴为坐标轴。
4. 抛物线的焦半径：若点P(x, y)在抛物线上，其焦半径\( PF \)满足\( PF = |x + \frac{p}{2}| \) 或 \( PF = |y + \frac{p}{2}| \)。
5. 抛物线的焦点弦：过焦点F的弦AB的长度\( AB = |x_1 + x_2 + p| \)。
6. 抛物线的通径：垂直于对称轴的焦点弦称为通径，长度为\( 2p \)。
7. 抛物线的焦半径公式和焦点弦长度公式在解决具体问题时非常关键，例如例题中的计算。
【例题精讲】
例题1展示了如何根据抛物线方程找到准线方程，标准方程，通径长度，以及焦点弦长度，并利用这些信息解决相关问题。例如，(1)中求准线方程，(2)中确定抛物线标准方程，(3)中求抛物线的通径长，(4)中求焦点弦AB的中点到直线的距离，(5)中求动点的轨迹方程。
例题2涉及到了通过已知点M确定抛物线的标准方程，以及根据焦点位置确定抛物线方程。
例题3和例题4则着重讨论了焦点弦的性质，当弦斜率存在和不存在时，如何求解焦点弦所在的直线方程。
通过以上内容的学习，高三学生可以深入理解抛物线的基本概念，掌握其性质和应用，从而在考试和后续学习中更加游刃有余。
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