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同济大学高等数学第六下册习题课二重积分的计算.pptx
同济大学高等数学第六下册习题课二重积分的计算.pptx
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同济大学高等数学第六下册习题课二重积分的计算.pptx
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二重积分的计算方法是累次积分法,化二重积分为累次积分的步骤是:
①
作出积分区域的草图
②
选择适当的坐标系
③
选定积分次序,定出积分限
1
。关于坐标系的选择
这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑
一、主要内容
第
1
页
/
共
27
页
被积函数呈
常用极坐标
其它以直角坐标为宜
2
。关于积分次序的选择
选序原则
①
能积分,②少分片,③计算简
3
。关于积分限的确定
二重积分的面积元
为正
确定积分限时一定要保证下限小于上限
积分区域为圆形、扇形、圆环形
第
2
页
/
共
27
页
)
(
)
,
(
2
2
x
y
f
y
x
f
)
(
r
dr
d
d
dx
dy
d
看图定限 —
穿越法定限
和
不等式定限
先选序,后定限
①
直角坐标系
ⅰ
。先
y
后
x
,
过任一
x
[
∈
a
,
b
]
,
作平行于
y
轴的直线
穿过
D
的内部
从
D
的下边界曲线
穿入
—
内层积分的下限
从上边界曲线
穿出
—
内层积分的上限
ⅱ
。先
x
后
y
过任一
y
[
∈
c
,
d
]
作平行于
x
轴的直线
定限
第
3
页
/
共
27
页
)
(
1
x
y
)
(
2
x
y
左边界
——
内层积分的下限
右边界
——
内层积分的上限
则将
D
分成若干个简单区域
再按上述方法确定每一部分的上下限
分片计算,结果相加
②
极坐标系
积分次序一般是
过极点
O
作任一极角 为
的射线
从
D
的边界曲线
穿入
从
穿出
ⅲ
。如
D
须分片
第
4
页
/
共
27
页
)
(
1
y
x
)
(
2
y
x
后
先
r
]
)
,
[
(
)
(
1
r
)
(
2
r
——
内下限
—
内上限
具体可分为三种情况
⑵
极点在
D
的边界上
是边界在极点处的切线的极角
绝大多数情况下为
0
⑶
极点在
D
的内部
化累次积分后
外限是常数
内限是外层积分变量的函数或常数
极坐标系下勿忘
r
⑴
极点在
D
的外部
第
5
页
/
共
27
页
)
(
1
r
)
(
2
r
)
(
)
(
,
2
1
r
r
r
)
(
)
(
,
2
1
r
r
r
,
)
(
1
r
)
(
0
,
2
0
r
r
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