数列的概念
数列是按一定的次序排成的一列数,每一个数叫做数列的项。从开始的项起,按照自左至右排序,各项按照其位置依次叫做这个数列的第 1 项(或首项),第 2 项,第 3 项, …,第 n 项,…。其中反映各项在数列中位置的数字 1,2,3,…,n,分别叫做对应的项的项数。
只有有限项的数列叫做有穷数列,有无限多项的数列叫做无穷数列。在学习数列的概念时,需要注意数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念。
数列的概念可以通过实例来加深理解,如生活中的一个数列实例是“ -5,-3,-1,1,3,5,…”,其中各项的项数是 1,2,3,…,n。数列“ 1,2,3,4,5”与数列“ 5,4,3,2,1”是否为同一个数列?答案是不是,因为它们的项数顺序不同。
数列的一般形式可以写作 {a_na_n-1,…,a_2,a_1),其中,a_n 是第 n 项的值。一个数列的第 n 项如果能够用关于项数 n 的一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式。
例如,数列“ 2,4,6,8,…”,其通项公式可以写作 an = 2n。又如,数列“ 5,10,15,20,…”,其通项公式可以写作 an = 5n。
在学习数列的概念时,还需要注意数列的运用。例如,可以将一个数列的前几个项表示出来,然后根据这些项来猜测数列的通项公式。又如,可以根据数列的通项公式来计算某一项的值。
数列的概念是数学中一个重要的概念,它有广泛的应用价值。了解数列的概念可以帮助我们更好地理解和应用数学公式,解决实际问题。
巩固知识:
1. 何谓数列?请列举生活中的一个数列实例。
2. 数列“ 1,2,3,4,5”与数列“ 5,4,3,2,1”是否为同一个数列?为什么?
3. 什么是数列的通项公式?请举例说明。
典型例题:
例 1 根据下列各无穷数列的前 4 项,写出数列的一个通项公式。
(1)5,10,15,20,…
(2)1/2,1/4,1/6,1/8,…
解:
(1)观察发现,每一项都恰好是其项数的 5 倍,故数列的一个通项公式为 an = 5n。
(2)观察发现,各项都是分数,分子都是 1,分母恰好是其项数的 2 倍,故数列的一个通项公式为 an = 1/(2n)。