一元线性回归模型及参数估计PPT课件.pptx

一元线性回归模型是一种统计学中用于分析两个变量间关系的方法，通常用来预测或解释一个因变量（Y）如何依赖于一个自变量（X）。模型的一般形式为：yi = b0 + b1xi + εi，其中yi是第i个观测的因变量值，xi是对应的自变量值，b0是截距项，b1是斜率或回归系数，εi是随机误差项，代表因变量中未被模型解释的部分。 模型参数估计的目标有两个关键点：一是估计出反映变量间数量关系的结构参数b0和b1；二是估计随机误差项ε的方差ms。在满足一些基本假设的情况下，比如误差项ε的期望值为0，各误差项之间无相关性（即零均值、同方差性和独立性），我们可以使用不同的方法来估计这些参数。 其中，最常用的方法是普通最小二乘法（OLS）。OLS的基本思想是寻找使所有样本点到回归直线距离平方和最小的参数估计。通过计算样本观测值（Xi, Yi）与样本回归线之间的偏差，即yi - (b0 + b1xi)，然后对b0和b1求偏导数并置零，可以找到使误差平方和Q最小的b0和b1的值。解这个系统得到的b0和b1的估计量被称为最小二乘估计量。 最小二乘参数估计量可以通过离差形式表达，即将原始数据减去其均值，转化为xi = Xi - X̄和yi = Yi - Ȳ的形式，这样可以简化计算。随机误差项方差的估计量则可以通过残差平方和（RSS）来计算，即所有观测值yi与其估计值yi^的差的平方和除以自由度n-2。 另一种参数估计方法是最大似然法（ML）。这种方法基于最大或然原理，寻找使样本观测值出现概率最大的模型参数。在一元线性回归模型中，若假设误差项ε服从正态分布，那么给定参数估计量b0和b1后，因变量Y的联合概率密度函数被最大化，从而求得极大似然估计量。 总结来说，一元线性回归模型是通过估计截距和斜率来描述两个变量间的线性关系。参数估计常用的方法包括普通最小二乘法和最大似然法，这两种方法都遵循一定的统计原则，旨在找出最佳的参数估计，以最精确地拟合数据并理解变量间的关系。在实际应用中，我们需根据数据的特性以及研究目的选择合适的估计方法。