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44矩阵的秩PPT教学课件.pptx
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要找出任意一个
向量组的极大无
关组,进而求出
向量组的秩,并
不容易。为此,
本节通过引入矩阵
的
秩的概念,可以
给出一个求向量
组的极大无关组、
秩
的简单方法.
一、矩阵的秩
定义
1
在 矩阵 中任取 行
列 位于这些
行列交叉处的 个
元素,不改变它
们在 中所处的
位置次序而得到
的 阶行列式,称
为矩阵 的
阶子
式
.
(
1
)矩阵秩的
概念
例如 对于
每个元素都
为一阶子式;
为二阶子式;
为其唯一的三
阶子式
.
第
1
页
/
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16
页
A
n
m
k
k
)
,
,
(
n
k
m
k
2
k
k
k
A
A
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5
4
2
3
2
1
A
,
4
2
2
1
3
4
5
2
A
定义
2
若在矩阵 中有不
等于
0
的 阶子式
,而所
有 阶子式(如果
存在的话)全等
于
0
,
那么数
称为
矩阵 的秩
,
记作 ,简记为
.
即矩阵 的秩就
是 中非零子式的
最高阶数
.
规定:零矩阵
的秩为零
.
注
1
、若 为一
个 矩阵,则有
.
2
、
对 的矩阵 ,
若 ,则称 为满秩矩
阵
.
3
、特别地,若 为 阶方阵,且
,
则 为满秩矩阵,
此时显然有 非奇
异
.
即有:方阵 满秩
可
逆
非奇异
第
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16
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A
r
1
r
r
A
)
(
A
r
a
n
k
)
(
A
r
A
A
A
n
m
n
m
A
r
,
min
)
(
0
n
m
A
n
m
A
r
,
min
)
(
A
A
n
n
A
r
)
(
A
A
A
A
A
例
1
求
矩阵
的秩
.
解
,即 为满秩矩阵
.
第
3
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16
页
3
7
4
5
3
2
3
2
1
A
中
,
在
A
,
阶
子式
只
有
一个
的
又
A
A
3
.
0
3
2
2
1
,
且
0
A
3
)
(
A
r
A
例
2
解
计算
A
的
3
阶子式,
第
4
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共
16
页
,
求该
矩
阵
的秩
.
已
知
5
1
0
2
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1
2
0
2
2
3
1
A
,
0
2
2
0
3
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,
0
,
0
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,
0
,
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.
0
.
2
A
r
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