《一元二次方程》是数学中的核心概念，主要研究含有一个未知数，并且未知数最高次数为2的整式方程。这类方程的一般形式是ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，a被称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，且a≠0。判断一个方程是否为一元二次方程，需要满足四个条件：方程是整式的，只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。
在实际应用中，一元二次方程经常用于解决各种实际问题，例如，确定比赛场次、计算矩形面积、设计多边形对角线数量等。例如，赛制为单循环的足球比赛，如果有x个球队参加，比赛场次总数为x(x-1)/2，因此可得方程x(x-1)=21。类似地，当矩形活动场地面积为180平方米，长比宽多11米时，设宽为x，则长为x+11，可列方程x(x+11)=180。
解决一元二次方程通常有多种方法，包括直接开平方、配方法、公式法（韦达定理）以及因式分解法。例如，方程x² - 5x + 6 = 0可以通过因式分解为(x - 3)(x - 2) = 0，进而得出解为x=3或x=2。
对于方程ax² + bx + c = 0，其解由求根公式给出，即x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a)。当判别式b² - 4ac为正时，方程有两个不同的实数根；当判别式为零时，方程有一个重根；当判别式为负时，方程无实数根，但有共轭虚根。
一元二次方程在解决实际问题时，常常需要根据实际情况列出方程，然后解出未知数。例如，多边形的对角线条数n(n-3)/2等于54，可以求得多边形的边数n。再比如，矩形地面上修建相同宽度的两条垂直道路，如果道路宽为x，剩下的草坪面积为300平方米，可以建立方程(22-2x)(17-2x) = 300。
对于方程的系数，它们的和、差、积等信息有时也包含着解的信息。例如，方程x² - 5x + 6 = 0的系数和为1，而方程ax² + bx + c = 0若有根x=0，则a×0²+b×0+c=0，即c=0。
一元二次方程是数学中的基础工具，它在日常生活和科学研究中扮演着重要角色，不仅涉及代数知识，还与其他数学分支如几何、概率统计等紧密相连。理解和掌握一元二次方程的性质和解法，对培养解决问题的能力至关重要。
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