图论图的基本概念PPT教案.pptx

图论是离散数学的一个重要分支，主要研究的是图形结构及其性质。在计算机科学中，图论被广泛应用在算法设计、网络分析、数据结构等领域。本篇内容将深入讲解图论中的基本概念。 图是由节点（或顶点）和边组成的结构，通常表示为一个有序对 `<V, E>`，其中 `V` 是节点集合，`E` 是边集合。如果 `V` 和 `E` 都是有限的，那么我们称此图是有限图。根据边的方向，图可以分为无向图（边没有方向）和有向图（边有明确的起点和终点）。混合图则同时包含有向边和无向边。 在无向图中，边是无顺序的，而有向图的边是有序的，如 `<v, u>` 表示一条从节点 `v` 指向节点 `u` 的边。无向图用 `G=<V,E>` 表示，有向图用 `D=<V,E>` 表示。平凡图是指只有一个节点的图，零图或空图则是没有任何边的图。自回路是连接同一节点的边，平行边则是连接相同两个节点的多条无向边，而有向平行边则是方向相同的多条有向边。简单图不包含平行边和自回路。 节点的度数（`deg(v)` 或 `d(v)`）指的是与该节点关联的边的数量。在有向图中，出度（`deg+(v)`）是起点为 `v` 的边数量，入度（`deg-(v)`）是终点为 `v` 的边数量。节点的度数等于出度加入度。在无向完全图 `K_n` 中，每个节点与其他所有节点都有一条边相连，所以每个节点的度数为 `n-1`。有向完全图则是每对节点之间都有两条方向相反的边。 子图是由原图中一部分节点和边构成的图，若子图的节点和边均与原图相等，称为真子图。生成子图则是节点与原图相同的子图，但边可能少于原图。补图是通过添加边使原图成为完全图而得到的图，原图中的边与补图中的边互斥。 图的同构是指两个图在结构上是等价的，即存在一个双射函数使得每个图的边在另一个图中都能找到对应的边，且边的重数保持一致。同构的必要条件包括节点数、边数以及相同度数的节点数量相同。 握手定理是图论中的一个重要结论，它指出在一个无向图中，所有节点的度数之和是边数的两倍。对于有向图，握手定理有所变化：奇数度节点的个数总是偶数，而且如果图中只有两个奇数度节点，那么这两个节点间一定存在路径。 此外，图的连通性是无向图的重要特性，无向图的连通分支指的是图中任意两个节点间都存在路径的子图。点割集、割点、边割集和割边等相关概念用于分析图的连通性，它们在网络流、最短路径等问题中有广泛应用。有向图的强连通性是指图中任何节点都可以到达其他任何节点，而判断一个有向图是否强连通也是图论中的基础问题。 图的矩阵表示包括邻接矩阵、关联矩阵和邻接列表等，它们提供了方便的存储和计算图的结构。带权图是边带有数值的图，最短路径问题在带权图中寻找最小总权重的路径，关键路径则在工程管理等领域用于确定项目进度的最优安排。 图论图的基本概念是理解和解决复杂系统中关系问题的基础，无论是网络设计、数据挖掘还是算法分析，都离不开这些基本概念的支撑。深入理解这些概念并能灵活应用，将有助于在实际问题中找到有效的解决方案。