稀疏矩阵的压缩存储和转置

### 稀疏矩阵的压缩存储与转置 #### 知识点一：稀疏矩阵的概念 - **定义**：稀疏矩阵是指矩阵中的大部分元素为零或接近于零的矩阵。 - **特点**：非零元素相对较少，且分布没有规律。 - **存储问题**：如果直接使用二维数组来存储，则会浪费大量的存储空间。 - **解决方法**：通过压缩存储技术，仅保存非零元素及其位置信息。 #### 知识点二：三元组表示法 - **定义**：对于稀疏矩阵中的每一个非零元素\(a_{ij}\)，用一个三元组\((i, j, a_{ij})\)来表示该元素的行号、列号以及元素值。 - **优点**： - 节省存储空间。 - 可以方便地进行稀疏矩阵的操作，如加法、乘法等。 - **实现**： - 定义一个`Triple`结构体，包含三个成员变量：行号`r`、列号`c`和元素值`e`。 - 使用`TSMatrix`结构体来存储整个稀疏矩阵的信息，包括行数`rows`、列数`cols`、非零元素个数`num`以及`Triple`类型的数组`data`用于存储每个非零元素对应的三元组。 #### 知识点三：稀疏矩阵的压缩存储 - **目的**：减少存储空间，提高处理效率。 - **步骤**： 1. 遍历原始矩阵，统计非零元素的数量。 2. 构建一个`TSMatrix`类型的对象，设置其行数、列数和非零元素个数。 3. 再次遍历原始矩阵，将非零元素的行号、列号及元素值存入`TSMatrix`的`data`数组中。 - **代码示例**： ```c TSMatrix compressMatrix(ElemType** array, int r, int c) { int i, j, k = 0; Triple data[MAXSIZE]; TSMatrix* A = new TSMatrix; A->num = 0; A->rows = r; A->cols = c; for (i = 0; i < A->rows; i++) { for (j = 0; j < A->cols; j++) { if (array[i][j] != 0) { data[k] = *(new Triple); data[k].e = array[i][j]; data[k].r = i; data[k].c = j; A->num++; A->data[k] = data[k]; k++; } } } return *A; } ``` #### 知识点四：稀疏矩阵的转置 - **定义**：矩阵的转置是指将矩阵的行变为新的矩阵的列，列变为新的矩阵的行的过程。 - **特殊性**：稀疏矩阵的转置操作不仅要考虑元素值的变化，还要考虑行号和列号的交换。 - **实现**： 1. 初始化一个新的`TSMatrix`对象`B`，设置其行数为原矩阵的列数，列数为原矩阵的行数，非零元素个数与原矩阵相同。 2. 统计原矩阵每列的非零元素数量，并计算这些元素在新矩阵中的位置。 3. 遍历原矩阵，将每个非零元素的行号和列号交换后存储到新矩阵中。 - **代码示例**： ```c TSMatrix FastTransMatrix(TSMatrix A, TSMatrix B) { B.rows = A.cols; B.cols = A.rows; B.num = A.num; if (A.num) { int j, t, p, q; int* number = new int[A.cols]; int* position = new int[A.cols]; for (j = 0; j < A.cols; j++) { number[j] = 0; } for (t = 0; t < A.num; t++) { number[A.data[t].c]++; // 求每列的非零元素个数 } position[0] = 0; for (j = 1; j < A.cols; j++) { position[j] = position[j - 1] + number[j - 1]; // 每列第一个元素 } for (p = 0; p < A.num; p++) { j = A.data[p].c; // 求p号元素的列号 q = position[j]; // 第j列非零元素在B中的位置 B.data[q].r = A.data[p].c; B.data[q].c = A.data[p].r; B.data[q].e = A.data[p].e; position[j]++; // j列中下一个元素在B.data中的位置 } } return B; } ``` #### 总结 本篇内容主要介绍了稀疏矩阵的压缩存储与转置两个重要的知识点。通过对稀疏矩阵采用三元组表示法进行压缩存储，可以有效地节省存储空间。而通过特定的算法实现稀疏矩阵的转置，则能够快速准确地完成矩阵的操作，从而提高程序的执行效率。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值，特别是在大规模数据处理和高性能计算领域。