第18章变分法模型.pdf资源-CSDN文库

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第十八章动态优化模型

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制

函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又

简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方

法。

§1 变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变

分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值

原理。

1.1 变分法的基本概念

1.1.1 泛函

设

S 为一函数集合，若对于每一个函数 Stx

∈

)( 有一个实数

J

与之对应，则称

J

是

对应在

S 上的泛函，记作 ))(( txJ 。 S 称为

J

的容许函数集。

通俗地说，泛函就是“函数的函数”。

例如对于

x

y 平面上过定点 ),(

11

yxA 和 ),(

22

yxB 的每一条光滑曲线 )(xy ，绕

x

轴

旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线

)(xy 的泛函 ))(( xyJ 。由微积分知识不难写

出

dxxyxyxyJ

x

x

)('1)(2))((

2

1

2

∫

+=

π

（1）

容许函数集可表示为

})( ,)(],,[)(|)({

221121

1

yxyyxyxxCxyxyS ==∈= （2）

最简单的一类泛函表为

∫

=

2

1

),,())((

t

t

dtxxtFtxJ

&

（3）

被积函数

F 包含自变量 t ，未知函数

x

及导数 x

&

。（1）式是最简泛函。

1.1.2 泛函的极值

泛函

))(( txJ 在 Stx ∈)(

0

取得极小值是指，对于任意一个与 )(

0

tx 接近的

Stx ∈)( ，都有 ))(())((

0

txJtxJ ≥ 。所谓接近，可以用距离

ε

<))(),((

0

txtxd 来度量，

而距离定义为

|})()(||,)()({|max))(),((

000

21

txtxtxtxtxtxd

ttt

&&

−

−

=

≤≤

泛函的极大值可以类似地定义。

)(

0

tx 称为泛函的极值函数或极值曲线。

1.1.3 泛函的变分

如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为

泛函的自变量，函数

)(tx 在 )(

0

tx 的增量记为

)()()(

0

txtxtx

−

=

δ

也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作

))(())()((

00

txJtxtxJJ

−

+=Δ

δ

如果

JΔ

可以表为

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