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长江水质的评价和预测
摘要
本文用模糊数学的方法,通过计算各评价因子的隶属度和权重,得到了长江近两年
多的水质情况的综合评价结论:Ⅰ类水比例为 25%、Ⅱ类水比例为 23%、Ⅲ类水比例为 20%、
Ⅳ类水比例小于 1%、Ⅴ类水比例为 30%、劣Ⅴ类水比例小于 2%,如下面饼图,其中可
饮用水比例为 68%,不可饮用水比例为 32%。结果显示不可饮用水的比例很大,可以说
明长江污染情况已经相当严重。
对于问题(2),我们通过建立反映长江水质的一维稳态微分方程模型,并求解得到
各观测站浓度的计算公式,用
Matlab
编程计算,计算结果显示,高锰酸盐污染源主要在:
湖北宜昌南津关和湖南岳阳城陵矶。氨氮污染源主要在:重庆朱沱和湖南岳阳城陵矶。
对于问题(3),根据近 10 年的水文年数据建立灰色系统预测模型,得到了未来 10 年
长江全流域、干流、支流河长百分比的值,据此画出相应的走势图,由此确定水质污染
的发展趋势,我们的结论是:长江未来 10 年的污染会越来越严重。
对于问题(4),我们首先建立排污量的灰色系统预测模型,得出未来 10 年的排污总
量,根据长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在 20%以内,且没有劣Ⅴ类水的要求,建
立了每年需要处理污水量的计算公式,得到了未来 10 年每年需要处理的污水量,见下
表(单位:亿吨):
年份
需处理的污水量
年份
需处理的污水量
2005
19.5390
2006
132.6777
2007
143.4669
2008
193.9729
2009
225.4419
2010
276.0293
2011
316.5134
2012
367.8958
2013
413.7736
2014
463.8682
关键词:模糊数学 隶属度 权重 微分方程 灰色系统
2
一、问题重述
自 2004 年 10 月“保护长江万里行”行动发起后,考察团对沿线 21 个重点城市做
了实地考察,认识到了母亲河长江受到了严重的污染,为此,专家提出了拯救长江的呼
唤,给出了下面这些有待解决的问题。
(1)对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价,并分析各地区水质的污染状
况。
(2)研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在
哪些地区?
(3)假如不采取更有效的治理措施,依照过去 10 年的主要统计数据,对长江未来水
质污染的发展趋势做出预测分析,比如研究未来 10 年的情况。
(4)根据你的预测分析,如果未来 10 年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比
例控制在 20%以内,且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水?
(5)你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。
题目附件中给出了解决上述问题的各类数据。附件 3 给出了长江沿线 17 个观测站
(地区)近两年多主要水质指标的检测数据,以及干流上 7 个观测站近一年多的基本数据
(站点距离、水流量和水流速);附件 4 是“1995~2004 年长江流域水质报告”给出的主要
统计数据;附表是《地表水环境质量标准》中 4 个主要项目标准限值,其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
类为可饮用水。污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数,考虑取 0.2
(单位:1/天)。
已知条件:通常认为一个观测站(地区)的水质污染主要来自于本地区的排污和上
游的污水;污染物都有一定的自然净化能力(指标称为降解系数);自然净化能力可以认
为是近似均匀的。
二、模型假设
1.污染物排放入长江后迅速混合在水中。
2. 把长江认为是一维的,不考虑河宽,水深,横断面。
3. 主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数取为常数 0.2。
4. 一个地区的污染只来自于上游的污水和本地区的排污。
5.预测不考虑突变因素,如洪水、干旱等。
三、符号约定
ij
S
: 第
i
监测项目第
j
类水的标准限值 (
4,3,2,1�i
,
6,5,4,3,2,1�j
)
ik
X
: 第
k
观测站第
i
监测项目在 28 个月中的平均值 (
173,2,1 ��k
)
ijk
Y
: 第
k
观测站第
i
监测项目对第
j
类水的隶属度
ik
W
: 第
k
观测站第
i
个监测项目的权重。
k
B
: 第
k
观测站模糊数学方法综合评价的结果
k
A
: 第
k
观测站各评价因子的权重向量
k
R
: 第
k
观测站隶属度的模糊关系矩阵
ik
c
: 第
k
观测站第
i
个监测项目在近 18 个月中的平均浓度 (
Lmg /
)
0
c
: 各污染物的初始浓度
ik
C
: 第
k
观测站第
i
个监测项目浓度的计算值
k
: 长江干流的降解系数
x
: 长江干流相邻观测站间的距离(
m
)
3
k
u
: 第
k
观测站在近 12 个月中水流平均流速(
sm /
)
n
Y
: 未来第
n
年需要处理的污水量(
103,2,1 ��n
)
n
p
:未来第
n
年的废水排放总量
k
t
: 分别表示未来 10 年每年第Ⅳ、Ⅴ和劣Ⅴ类水的百分比(
321 、、�k
)
四、模型建立与求解
(一)、问题(1)
此问用模糊数学法对长江水质情况作定量的综合评价。
1.模糊数学法基本原理:
把普通集合理论中的非“0”则“1”的绝对隶属函数用[0,1]来刻画。
本文选用监测项目集合
�U
{ PH 值(无量纲)、溶解氧(DO) 、高锰酸盐指数(CODMn)、
氨氮(NH3-N)}4 项作为评价因子。由于 PH 值标准限值是一个区间范围,无法用模糊数
学法对其做定量分析,而且附件 3 的数据显示,各观测点的 PH 值都位于区间[6,9]内,
所以此小题只对后 3 项评价因子做综合评价。
2.模型建立
模糊数学的综合评价是通过模糊关系矩阵
k
R
和评价因子的权重矩阵
k
A
的复合运算
进行评价,实际上是对各项评价因子进行加权合成,所以可以得到模型:
kkk
RAB ��
(1-1)
3.模型求解
3.1 计算各评价因子对各类水的隶属度
用线形隶属函数确定各评价因子对各类水的隶属度的计算公式如下:
1�j
类水:
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
2
21
12
2
1
1
0
1
iik
iiki
ii
iki
iik
ki
SX
SXS
SS
XS
SX
Y
(1-2)
5,4,3,2�j
类水:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
)1()1(
)1(
12
)1(
)1(
)1(
)1(
,0
jiikjiik
ijikji
ii
jiik
jiikij
ijji
ikji
ijk
SXSX
SXS
SS
SX
SXS
SS
XS
Y
(1-3)
4
6�j
类水:
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
5
65
56
5
6
6
0
1
iik
iiki
ii
iik
iik
ki
SX
SXS
SS
SX
SX
Y
(1-4)
由上述公式(1-2),(1-3),(1-4)可计算求出各观测站中各监测项目对于各类水的
隶属度,它们都是 1 行 6 列的向量,将各观测站的向量按行放到一个矩阵中,得到各观
测站的模糊关系矩阵
k
R
,以第 1 个观测站为例:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
00000.09390.9061
000000
000000
1
R
用同样的方法我们可以求得另外 16 个观测站的模糊关系矩阵
k
R
。
3.2 各评价因子权重的计算
本文给出的 4 项评价因子中,溶解氧(DO)在水中含量越高表明水质越好,而高锰酸
盐指数(CODMn)和氨氮(NH3-N)在水中含量越低表明水质越好,所以我们取以下的权重
公式:
溶解氧(DO)权重公式为:
k
j
j
k
mX
S
W
2
6
1
2
2
�
�
�
(1-5)
高锰酸盐指数(CODMn)、 氨氮(NH3-N)权重公式为:
�
�
�
6
1j
ij
ik
ik
S
mX
W
(1-6)
其中
m
为水质的类数,即
6�m
,且
4,3�i
。
用上面公式(1-5), (1-6)计算,得到各观测站各评价因子的权重和可能出现大于 1
的情况,但模糊数学运算只允许在[0,1]区间取值,故各项权重必须进行归一化处理,
公式为:
�
�
�
4
2i
ik
ik
ik
W
W
W
,
1
4
2
�
�
�i
ik
W
。 (1-7)
其中
172,1 ��k
。从而用公式(1-7)处理后得到各观测站中各个评价因子的权重向量
k
A
,
如:
0323.02725.06952.0
1
�A
。
同理,可以求出其它 16 项
k
A
。
3.3 综合评价
用公式(1-1)计算得各观测站综合评价的结果
)172,1( ��kB
k
,其元素表示各观测
站污染程度对各类水的隶属度。
4.模型结果
根据向量
k
B
依次确定各观测站综合评价后的水质类别,见表 1_1:
5
表 1_1: 污染程度对各类水的隶属度及评价结果
对各类水质的隶属度
k
B
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 劣Ⅴ类
评价结果
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11
B12
B13
B14
B15
B16
B17
0.0293 0.0030 0 0 0 0
0.0280 0.0303 0 0 0 0
0.0282 0.0137 0 0 0 0
0.0233 0.0247 0 0 0 0
0.0245 0.0007 0 0 0 0
0.0265 0.0077 0 0 0 0
0.0204 0 0 0 0 0
0 0.0131 0.0731 0 0 0
0.0139 0.0558 0 0 0 0
0 0.0374 0.0619 0 0 0
0.0177 0 0 0 0 0
0 0.0203 0.1010 0 0 0
0.0171 0.0352 0 0 0 0
0.0239 0.0037 0 0 0 0
0 0 0 0 0.3525 0.0205
0.0242 0.0155 0 0 0 0
0.0264 0.0170 0 0 0 0
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅰ
Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅰ
Ⅰ
总计
0.3033 0.2781 0.2361 0 0.3525 0.0205
以观测站 1 对应的向量
� �
00000.00300.0293
1
�B
为例:观测站 1 的污染程度
对Ⅰ类上的隶属度为 0.0293,对Ⅱ类水的隶属度为 0.0030,对Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,劣Ⅴ类水
的隶属度都为 0。由于对Ⅰ类水的隶属度最大,所以观测站 1 的水质处于Ⅰ类。
注:总计行为每一列的数据相加计算得到,表示长江全河段污染程度对各类水的隶
属度。
5. 结果分析
分析数据,对总计行隶属度作百分比换算求得:Ⅰ类水占长江全流域的比例为 25%、Ⅱ
类水比例为 23%、Ⅲ类水比例为 20%、Ⅳ类水比例小于 1%、Ⅴ类水比例为 30%、劣Ⅴ类
水比例小于 2%,由此可知:长江全流域可饮用水比例为 68%,不可饮用水比例为 32%,
这表明不可饮用水所占比例比较大,长江水质污染情况已经相当严重,所以保护长江,
刻不容缓。
(二)、问题(2)
1.模型建立
据查阅水环境专业资料[2],我们考虑用河流的一维稳态水质模式来解决第二个问
题。
设污染物在河流横向方向上达到完全混合,为了描述污染物的变化情况,建立以下
微分方程模型:
� � � �
� �
KBLL
ASSSA
x
c
AD
xx
Qc
T
Ac
���
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(2-1)