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基于DCT-DWT变换域的数字水印方法研究
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基于DCT-DWT变换域的数字水印方法研究,对载体图像进行DWT小波变换,再对其生成的低频子代进行分块DCT变换,对数字水印图像进行Arnold变换与logistics变换后,将其嵌入至载体图像中,最后对生成的图像分别进行DCT逆变换与小波重构,得到最终图像
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目 录
第 1 章 数字水印数学基础 ......................................................................................................................... 2
1.1 离散余弦变换 .................................................................................................................................. 2
1.2 离散小波变换 .................................................................................................................................. 3
1.2.1 小波变换 ............................................................................................................................... 3
1.2.2 小波变换对信号的处理 ....................................................................................................... 4
1.3 水印置乱方法 .................................................................................................................................. 5
1.3.1 Arnold 变换 ............................................................................................................................ 5
1.3.2 Logistic 混沌置乱 .................................................................................................................. 6
第 2 章 基于 DWT-DCT 变换的数字水印 ................................................................................................. 8
2.1 算法思路 .......................................................................................................................................... 8
2.2 算法流程 .......................................................................................................................................... 8
2.2.1 水印嵌入 ............................................................................................................................... 8
2.2.2 水印提取 ............................................................................................................................. 11
2.2.3 算法性能分析 ..................................................................................................................... 11
2.3 攻击测试与结果 ............................................................................................................................ 12
2.4 拓展 ................................................................................................................................................ 17
第 1 章 数字水印数学基础
1.1 离散余弦变换
Abmed 和 Rao 两人在 1974 年首先给出了 DCT 的定义,即在给定序列 f(x)
时 ,其中 x=0, 1, 2, ..., N-1,则它的 DCT 变换为:
1
0
1
(0) ( )
N
x
F fx
N
−
=
=
∑
(3-1)
1
0
2 (2 1)
() ()cos
2
N
x
xu
Fu f x
NN
π
−
=
+
=
∑
(3-2)
式中,u 是广义频率变量,u=1,2,3….N-1。
一维离散余弦反变换(IDCT)定义为:
1
1
1 2 (2 1)
( ) (0) ( )cos
2
N
n
xu
f x F Fu
NN
N
π
−
=
+
= +
∑
(3-3)
对一维离散余弦变换进行扩展,我们可以得到二维 DCT 的定义:
11
00
1
(0, 0) ( , )
NN
xy
F f xy
N
−−
= =
=
∑∑
(3-4)
11
00
2 (2 1)
(0, ) ( , ) cos
2
NN
xy
yv
F v f xy
NN
π
−−
= =
+
=
∑∑
(3-5)
11
00
2 (2 1)
( ,0) ( , ) cos
2
NN
xy
xu
Fu f xy
NN
π
−−
= =
+
=
∑∑
(3-6)
11
00
2 (2 1) (2 1)
( , ) ( , ) cos cos
22
NN
xy
xu yv
Fuv f xy
N NN
ππ
−−
= =
++
= ⋅
∑∑
(3-7)
式中,u, v=1,2, 3,…,N-1; x, y=0, 1, 2,…,N-1。
二维 IDCT 由下式给出:
11
11
1 2 (2 1) 2 (2 1)
( , ) (0,0) ( ,0) cos (0, ) cos
22
NN
uv
xu yv
f xy F Fu F v
N N NN N
ππ
−−
= =
++
=+++
∑∑
11
11
2 (2 1) (2 1)
( , ) cos cos
22
NN
uv
xu yv
Fuv
N NN
ππ
−−
= =
++
⋅
∑∑
(3-8)
显然,其变换核函数
2 (2 1)
( , ) cos , , 0, 1, , 1
2
u
xu
Cux g ux N
NN
π
+
= = −
(3-9)
是实数,式中函数
1/ 2, 0
1, 0
u
u
g
u
=
=
≠
(3-10)
若 f(x)是一个实数序列,则它的 DFT 一般为复数,而 DCT 的存在则可以避免复
数运算。
DCT 也可写成矩阵形式:
F(u)=A f(x)
(3-11)
式中,F(u)是一个一维变换系数矩阵;f( x)是一个时域数据矩阵;A 为变
换矩阵。
若 N=4,则由一维 DCT 的定义式可得:
0.500 0.500 0.500 0.500
0.653 0.271 0.271 0.653
0.500 0.500 0.500 0.500
0.271 0.653 0.653 0.271
A
−−
=
−−
−−
同样,IDCT 也可以用矩阵表示为:
T
() ()f x AFu=
(3-12)
拓展到而且 DCT,用矩阵表示为:
T
(,) (, )Fuv Af xyA=
(3-13)
T
(, ) (,)f xy Fuv= AA
(3-14)
可以证明,一维 DCT 变换的基向量与切比雪夫多项式是一致的,而因为切比雪夫多
项式是正交的,同理 DCT 也是正交的。可以验证 N=4 的时候,变换矩阵
A
满足
T
=AA I
。
所以,DCT 是一类正交变换。
1.2 离散小波变换
1.2.1 小波变换
设
( ) ( ) ( )
( )
RLRL
22
t ∈
ψ
表示一个平方可积的实数空间,即能量有限的传导空间,它的
傅里叶变换为
(
)
ωψ
ˆ
。当
( )
ωψ
ˆ
满足允许条件式 3-15
( )
∞<=
∫
ω
ω
ωψ
ψ
dC
R
2
ˆ
. (3-15)
时,可以称
(
)
t
ψ
为一个基本小波或者母小波。而母函数
( )
t
ψ
可以通过拉伸压缩变换等变
换平移后,成为一个小波序列。
当基本小波连续时,小波序列如式 3-16:
(
)
0;,
1
,
≠∈
−
=
aRba
a
bt
a
t
ba
ψψ
. (3-16)
式中,a 为伸缩因子,b 为平移因子。
对于任意的函数
( ) ( )
RLtf
2
∈
的连续小波变换的描述如式 3-17 所示:
( )
( )
dt
a
bt
tfaWf
W
R
babaf
−
==
∫
−
ψ
2/1
,,
,
. (3-17)
其逆变换如式 3-18 所示:
( ) ( )
dadb
a
bt
baW
aC
tf
f
RR
−
+=
∫∫
ψ
ψ
,
11
2
. (3-18)
对于离散的情况,小波序列如式 3-19 所示:
( )
( )
Zkjktt
jj
k
∈−=
−−
,22
2/
,j
ψψ
. (3-19)
当公式 3-20 成立时,
( ) ( )
tatf
kj
j k
kj ,,
ψ
∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
=
(3-20)
可以称系数
{ }
Zkj
kj
a
∈,
,
的集合为函数 f 的离散小波变换。
1.2.2 小波变换对信号的处理
图像处理中的离散小波变换的基本思想是将图像进行多分瓣分解,得到不同的空间
域和独立频域的子图像。然后变换子图像的系数。对原始图像进行一级 DWT 变换后,
可以将其分解为 4 个频域,即 1 个低频区(LL)和 3 个高频区(LH、HL、HH)。如
果对低频区的信息继续进行 DWT 变换,就可以得到次频区的信息。经过两次 DWT 分解
后的图像如图 3.1 所示。其中 LH1、HL1 和 HH1 为高频区域,低频区域 LL1 信息则被
分解为 LL2、HL2、LH2 和 HH2 的子级频率区域信息。以此类推,这样可以将原始图
像分解为多级小波变换,在此不再进行赘述。
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