二维稳态导热的数值计算主要采用了热平衡法。用差分法建立节点的热平衡方程， 将节 点所在的单元体的四个方向传递的热流密度，内热源在单元体产生的热流密度， 根据能量守 恒的原则建立方程，可以得到每一个节点的离散化代数方程。进行数值计算的方法是： 先设定初值， 在根据初值对每一个节点进行迭代可以求得节点 的值。再将初值与新值进行比较，判断迭代的敛散性。比较常用的迭代方法有两种： Gauss-Seidel 法和 Jacobi 法。 Gaus-Seidel 法每次迭代计算， 均是使用节点温度的最新值。 Jacobi 迭代法每次迭代计算均用上一次迭代计算出的值。 对于一个代数方程组， 若选用的迭代方式 不合适有可能导致迭代过程发散， 而对于常物性导热问题组成差分方程组， 每一个方程都选 用导出方程的中心节点温度作为迭代变量则迭代一定收敛。
### 二维稳态导热的数值计算知识点
#### 实验背景及目的
本实验报告针对的是二维稳态导热问题的数值求解方法。实验的主要目的是让学生掌握如何使用节点法来求解温度分布，并通过计算机编程的方式求解热传导问题，从而提升学生利用计算机解决工程实际问题的能力。
#### 实验原理
**二维稳态导热问题的基本方程**：
对于一个二维稳态导热问题，其基本微分方程可以表示为：
\[ \nabla^2 T = 0 \]
其中 \( T \) 表示温度，\(\nabla^2\) 是拉普拉斯算子，代表二维空间内的二阶偏导数。在没有内热源的情况下，导热系数为常数，边界条件为已知时，可以通过数值方法求解温度场。
**数值计算方法**：
- **热平衡法**：这是一种基于能量守恒原则的方法，即在一个小的控制体积内，流入和流出的热量相等。通过这种方法可以建立每个节点的离散化代数方程。
- **差分法**：将微分方程转换为差分方程的过程，即将连续的问题转化为离散的问题。对于二维稳态导热问题，通常采用中心差分法来近似二阶偏导数。
**节点温度的迭代计算**：
- **初值设定**：为了启动迭代过程，首先需要为所有未知节点设置一个初始温度。
- **迭代算法**：
- **Gauss-Seidel法**：在每次迭代过程中，使用最新的节点温度值来更新方程组中的其他节点温度。
- **Jacobi法**：在每次迭代过程中，使用上一次迭代的结果来计算新的节点温度。
这两种方法都可以用来求解温度场，但收敛速度和稳定性可能有所不同。一般来说，对于某些特定类型的方程组，Gauss-Seidel法比Jacobi法收敛更快。
#### 实验内容与步骤
**实验模型**：
考虑一个矩形区域，边长 \( L = W = 1 \)，其中三个边界保持恒温 \( T_1 = 0 \)，第四个边界保持恒温 \( T_2 = 1 \)。假设区域内无内热源，且导热系数为常数。
**区域离散化**：
- 将矩形区域在x方向离散为 \( N \) 个节点，在y方向离散为 \( M \) 个节点。
- 区域内的任意节点可以用坐标 (i, j) 来表示，其中 i 和 j 分别表示节点在 x 方向和 y 方向的位置。
**方程离散**：
- 对于内部节点，采用二阶中心差分公式近似二阶偏导数。
- 得到的离散方程为：
\[ T_{i+1,j} + T_{i-1,j} + T_{i,j+1} + T_{i,j-1} - 4T_{i,j} = 0 \]
**边界条件**：
- x = 0 处，\( T = T_1 = 0 \)
- x = 1 处，\( T = T_1 = 0 \)
- y = 0 处，\( T = T_1 = 0 \)
- y = 1 处，\( T = T_2 = 1 \)
**迭代计算**：
- 选择适当的迭代方法（如 Gauss-Seidel 或 Jacobi 法）进行迭代计算，直到达到预定的收敛标准。
#### 结论
通过本次实验，学生不仅学会了如何使用节点法来求解二维稳态导热问题，而且还掌握了如何利用计算机编程来实现这一过程。通过对比解析解和数值解，可以验证所用数值方法的有效性和准确性。此外，通过调整网格尺寸和迭代参数，可以进一步研究这些因素对计算结果的影响，加深对数值计算原理的理解。
