特征集 计算机代数 吴-Ritt算法
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2022-03-04
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1.多项式的带余除法：
对于整系数多项式的带余除法，我们先考虑除式的首项系
数为
± 1
的情况。如果
m<n
,则带余除式为：
f
(
x
)
=0∙ g
(
x
)
+f (x )
如果
m ≥n
，记
f
(
x
)
≔f
(
x
)
−
a
m
b
n
x
m −n
∙ g (x)
，则
f
1
(
x
)
是一个次数不超过
m-1 的整系数多项式；再讨论
f
1
(x)
为被除式、g(x)为除式的带
余除式。这样的过程一定在有限步内结束，因而存在整系
数多项式 q(x),r(x)，使得
f(x)=q(x)
∙
g(x)+r(x)，r(x)=0 或 deg(r(x))
¿
deg(g(x))
这个带余除式中的 q(x), r(x)被 f(x), g(x)唯一确定，分别称为
f(x)除以 g(x)的商和余式，记做 quo(f(x),g(x)), rem(f(x),g(x))。
2．多项式的伪除法：
带余除法中的 g(x)的首项系数
b
n
考虑的是为
± 1
的情况，当
b
n
不
为
± 1
时，上述带余除法是无效的，但每次做除法时，都给被
除式乘上
b
n
，就能保持整除性质，而这样的步骤最多做
m-n+1 次，其中 m 为 f(x)的最高次数，n 为 g(x)的最高次数。
记上述操作的次数为
δ
满足：
δ ≤
max{m-n+1, 0}。则存在
q(x),r(x)使得：
b
n
δ
f
(
x
)
=q
(
x
)
g
(
x
)
+r
(
x
)
,
其中r
(
x
)
=0 或 deg(r (x))<deg (g(x))
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qq_33755388
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