### 两角和与差的正弦、余弦、正切公式详解
#### 一、两角和的余弦公式
对于两角和的余弦公式，可以通过已知的公式和诱导公式推导出来：
\[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \]
结合诱导公式：
\[ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(-\alpha) = \cos\alpha \]
可以推导出：
\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos[\alpha - (-\beta)] = \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \]
#### 二、两角和与差的正弦公式
通过同样的方法，可以得到两角和与差的正弦公式：
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin[\alpha - (-\beta)] \]
因此，
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \]
需要注意的是，上面给出的填空题中的答案有误，正确的表达式应该是：
1. \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \]
2. \[ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \]
对于判断题，我们可以看到：
1. \[ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\alpha - \cos\beta\sin\beta \] 错误。
2. \[ \sin\alpha + \sin\beta = \sin(\alpha + \beta) \] 错误。
3. \[ \sin(\alpha + \beta - 15^\circ) = \sin(\alpha - 15^\circ)\cos\beta + \cos(\alpha - 15^\circ)\sin\beta \] 正确。
4. \[ \sin15^\circ + \cos15^\circ = \sin60^\circ \] 正确。
#### 三、两角和与差的正切公式
对于两角和与差的正切公式，虽然原文没有给出具体的推导过程，但是可以根据正切的定义来推导：
\[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} \]
使用之前推导的两角和的正弦和余弦公式，可以进一步推导出正切公式。
例如，求解 \(\tan15^\circ\) 的值，可以使用两角和的正切公式：
\[ \tan15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan45^\circ - \tan30^\circ}{1 + \tan45^\circ\tan30^\circ} \]
由于 \(\tan45^\circ = 1\), \(\tan30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\)，所以：
\[ \tan15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \]
#### 四、综合应用
对于表格和实际应用题目，比如计算 \(\sin75^\circ\) 和 \(\cos77^\circ\cos43^\circ - \sin77^\circ\sin43^\circ\) 的值，可以利用两角和与差的三角函数公式：
1. \[ \sin75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin45^\circ\cos30^\circ + \cos45^\circ\sin30^\circ \]
由于 \(\sin45^\circ = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin30^\circ = \frac{1}{2}\)，因此：
\[ \sin75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
2. 对于 \(\cos77^\circ\cos43^\circ - \sin77^\circ\sin43^\circ\)，利用两角差的余弦公式，可以简化为：
\[ \cos(77^\circ - 43^\circ) = \cos34^\circ \]
#### 探究与反思
在解决这类问题时，需要注意以下几个关键点：
1. **公式的灵活运用**：不仅要熟练掌握公式的直接应用，还要学会逆用公式以及对公式进行适当的变形。
2. **角度的拆分与合并**：有时候需要将角度进行拆分或者合并来解决问题。
3. **特殊角的记忆**：熟悉并记忆一些特殊角的三角函数值，比如 \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) 等，这对于快速解题非常有帮助。
4. **解题策略**：对于给值求值的问题，要注意分析角之间的关系，合理运用拆角、拼角技巧，以及利用诱导公式转化已知角与未知角。
通过对这些知识点的学习和理解，学生能够更好地掌握三角函数的性质及其在实际问题中的应用。
