信息安全数学基础答案
第一章 整数的可除性
1．证明：因为 2|n 所以 n=2k , k Z
5|n 所以 5|2k ， 又（5，2）=1，所以 5|k 即 k=5 k
1
，k
1
Z
7|n 所以 7|2*5 k
1
,又（7，10）=1，所以 7| k
1
即 k
1
=7 k
2
，k
2
Z
所以 n=2*5*7 k
2
即 n=70 k
2
, k
2
Z
因此 70|n
2．证明：因为 a
3
-a=(a-1)a(a+1)
当 a=3k，k Z 3|a 则 3|a
3
-a
当 a=3k-1，k Z 3|a+1 则 3|a
3
-a
当 a=3k+1，k Z 3|a-1 则 3|a
3
-a
所以 a
3
-a 能被 3 整除。
3．证明：任意奇整数可表示为 2 k
0
+1， k
0
Z
（2 k
0
+1）
2
＝4 k
0
2
+4 k
0
+1=4 k
0
(k
0
+1)+1
由于 k
0
与 k
0
+1 为两连续整数，必有一个为偶数，所以 k
0
(k
0
+1)=2k
所以（2 k
0
+1）
2
=8k+1 得证。
4．证明：设三个连续整数为 a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a
3
-a
由第二题结论 3|（a
3
-a） 即 3|(a-1)a(a+1)
又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则 2|(a-1)a(a+1)
又（3，2）=1 所以 6|(a-1)a(a+1) 得证。
5．证明：构造下列 k 个连续正整数列：
(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k Z
对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)
所以 i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i 为合数
所以此 k 个连续正整数都是合数。
6．证明：因为 191
1/2
＜14 ,小于 14 的素数有 2，3，5，7，11，13
经验算都不能整除 191 所以 191 为素数。
因为 547
1/2
＜24 ,小于 24 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23
经验算都不能整除 547 所以 547 为素数。
由 737=11*67 ,747=3*249 知 737 与 747 都为合数。
8．解：存在。eg：a=6,b=2,c=9
10．证明：p
1
p
2
p
3
|n， 则 n= p
1
p
2
p
3
k，k N
+
又 p
1
≤ p
2
≤p
3
，所以 n= p
1
p
2
p
3
k≥p
1
3
即 p
1
3
≤n
1/3
p
1
为素数 则 p
1
≥2，又 p
1
≤ p
2
≤p
3
，所以 n= p
1
p
2
p
3
k≥2 p
2
p
3
≥2p
2
2
即 p
2
≤(n/2)
1/2
得证。
11．解：小于等于 500
1/2
的所有素数为 2，3，5，7，11，13，17，19，依次删除这些
素数的倍数可得所求素数：
12．证明：反证法
假设 3k+1 没有相同形式的素因数，则它一定只能表示成若干形如 3k-1 的素数相
乘。 (3 k
1
+1)(3 k
2
+1)=[( 3 k
1
+1) k
2
+ k
1
]*3+1 显然若干个 3k+1 的素数相乘，
1
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